Matriz de conferencia

De testwiki
Saltar á navegación Saltar á procura

En matemáticas, unha matriz de conferencia (tamén chamada matriz C) é unha matriz cadrada C con 0 na diagonal e +1 e −1 fóra da diagonal, de xeito que CTC é un múltiplo da matriz identidade I. Así, se a matriz ten orde n, CTC = (n −1) I. Algúns autores usan unha definición máis xeral, que require que haxa un único 0 en cada fila e columna mais non necesariamente na diagonal.[1][2] As matrices de conferencia xurdiron por primeira vez en relación cun problema de telefonía.[3] Foron descritas por primeira vez por Vitold Belevitch, quen tamén lles deu o seu nome.

Para n > 1, hai dous tipos de matriz de conferencia. Normalicemos C, primeiro (se se usa a definición máis xeral), reordenando as filas de xeito que todos os ceros estean na diagonal, e despois negando calquera fila ou columna cuxa primeira entrada sexa negativa. (Estas operacións non mudan se unha matriz é unha matriz de conferencia.) Así, unha matriz de conferencia normalizada ten todos os 1 na súa primeira fila e columna, agás un 0 na esquina superior esquerda, e é 0 na diagonal. Sexa S a matriz que fica cando se elimina a primeira fila e columna de C. Entón ou n é dupla par (un múltiplo de 4) e S é antisimétrica (igual que a C normalizada se a súa primeira fila é negada), ou n é simple par (congruente con 2 módulo 4) e S é simétrica (igual que a C normalizada).

Matrices de conferencia simétricas

Se C é unha matriz de conferencia simétrica de orde n > 1, entón n non só debe ser congruente con 2 mod 4 senón que tamén n − 1 debe ser unha suma de dous cadrados; [4] hai unha proba mediante a teoría de matrices elementais en van Lint e Seidel.[5] n sempre será a suma de dous cadrados se n − 1 é unha potencia prima.[6]

Dada unha matriz de conferencia simétrica, a matriz S pódese ver como a matriz de adxacencia de Seidel dun grafo. O grafo ten n − 1 vértices, correspondentes ás filas e columnas de S, e dous vértices son adxacentes se a entrada correspondente en S é negativa. Este grafo é fortemente regular do tipo chamado (igual que a matriz) grafo de conferencia.

A existencia de matrices de conferencia de orde n permitidas polas restricións anteriores só se coñece para algúns valores de n. Por exemplo, se n = q + 1 onde q é unha potencia prima congruente con 1 mod 4, entón os grafos de Paley proporcionan exemplos de matrices de conferencia simétricas de orde n, tomando S como a matriz de Seidel do grafo de Paley. As primeiras ordes posíbeis dunha matriz de conferencia simétrica son n = 2, 6, 10, 14, 18, (non 22, xa que 21 non é unha suma de dous cadrados), 26, 30, (non 34 xa que 33 non é un suma de dous cadrados), 38, 42, 46, 50, 54, (non 58), 62 Modelo:OEIS; para cada un destes, sábese que existe unha matriz de conferencia simétrica desa orde. A orde 66 parece ser un problema aberto.

Exemplos

A matriz de conferencia esencialmente única de orde 6 vén dada por

(0+1+1+1+1+1+10+1−1−1+1+1+10+1−1−1+1−1+10+1−1+1−1−1+10+1+1+1−1−1+10) .

Todas as demais matrices de conferencia de orde 6 obtéñense desta invirtiendo os signos dalgunha fila e/ou columna (e tomando permutacións de filas e/ou columnas, segundo a definición utilizada).

Unha matriz de conferencia de orde 10 é

(0−1−1+1−1−1−1+1−1−1−10−1−1−1+1+1−1−1−1−1−10−1+1−1+1+1+1−1+1−1−10+1+1+1+1−1+1−1−1+1+10−1+1−1−1+1−1+1−1+1−10+1+1+1+1−1+1+1+1+1+10+1−1−1+1−1+1+1−1+1+10+1−1−1−1+1−1−1+1−1+10+1−1−1−1+1+1+1−1−1+10) .

Matrices de conferencia antisimétricas

Tamén se poden producir matrices antisimétricas coa construción de Paley. Sexa q unha potencia prima co residuo 3 mod 4. Entón hai un digrafo de Paley de orde q que conduce a unha matriz antisimétrica de orde n = q + 1. A matriz obtense tomando para S a matriz q × q que ten un +1 en posición (i, j ) e −1 na posición (j, i) se hai unha aresta do digrafo de i a j, e diagonal cero. Entón a matriz C así construída a partir de S, mais coa primeira fila toda negativa, é unha matriz de conferencia antisimétrica.

Xeneralizacións

Ás veces, unha matriz de conferencia de orde n só se define como unha matriz ponderada da forma W (n, n −1), onde se di que W (n, w) ten un peso w > 0 e de orde n se é unha matriz cadrada de tamaño n con entradas {−1, 0, +1} que satisfán W WT = w I.[2] Usando esta definición, o elemento cero xa non é necesario que estea na diagonal, mais é fácil ver que aínda debe haber exactamente un elemento cero en cada fila e columna. Por exemplo, a matriz

(10110−1−111−10−111−10)

satisfaría esta definición relaxada, mais non a máis estrita que esixe que os elementos cero estean na diagonal.

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas


Modelo:Control de autoridades

  1. ↑ Modelo:Cita revista
  2. ↑ 2,0 2,1 Modelo:Cita revista
  3. ↑ Modelo:Cita Harvard sen parénteses
  4. ↑ Modelo:Cita Harvard sen parénteses
  5. ↑ Modelo:Cita revista
  6. ↑ Modelo:Cita Harvard sen parénteses
Obtido de «https://gl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Matriz_de_conferencia&oldid=1771»