Función multiplicativa

En aritmética, unha función multiplicativa é unha función aritmética f: ℕ* → ℂ a cumprir as dúas condicións seguintes:

• f (1) = 1;
• para todos os números enteiros a e b > 0 coprimos entre si, temos: f(ab) = f(a)f(b).

Unha función completamente multiplicativa é unha función aritmética g que satisfai:

• g (1) = 1;
• para todos os números enteiros a e b > 0, temos: g (ab) = g(a)g(b).

As funcións multiplicativas ocorren en particular na teoría analítica de números, nas series de Dirichlet.

Determinación e exemplos

Unha función multiplicativa ƒ está totalmente determinada polos seus valores nas potencias distintas de cero dos números enteiros primos. De feito, segundo o teorema fundamental da aritmética, calquera número enteiro n > 0 admite unha descomposición nun produto de factores primos, único sen ter en conta a orde dos factores:

$n=\prod _{i=1}^r{p}_i^{k_i}$

onde os pModelo:Sub son números primos e os kModelo:Sub son enteiros naturais, con (para garantir a unicidade) : a secuencia finita de pModelo:Sub é estritamente crecente e cada kModelo:Sub (chamada valoración pModelo:Sub-ádica de n) é distinto de cero. Ao aplicar ƒ, temos:

$f(n)=\prod _{i=1}^{r}f(p_i^{k_i}).$

Non hai restricións adicionais: calquera secuencia de números complexos indexada polas potencias distintas de cero dos números enteiros primos dá, a través da fórmula anterior, unha función multiplicativa única. Por razóns análogas, unha función completamente multiplicativa g está totalmente determinada polos seus valores nos números primos. Usando as notacións anteriores:

$g(n)=\prod _{i=1}^{r}g(p_i{)}^{k_i}.$

Estas consideracións proban que hai unha infinidade de funcións completamente multiplicativas.

Exemplos

Algunhas funcións multiplicativas defínense para facilitar a escritura de fórmulas:

• 1(n): a función constante, definida por 1(n) = 1 (completamente multiplicativa)
• Id(n): función de identidade, definida por Id(n) = n (completamente multiplicativa)
• Id_k(n): as funcións de potenciación, definidas por Id_k(n) = n^k para calquera número complexo k (completamente multiplicativa). Como casos especiais temos
  • Id₀(n) = 1(n).
  • Id₁(n) = Id(n).
• ε(n): a función definida por ε(n) = 1 se n = 1 e 0 en caso contrario, ás veces chamada unidade de multiplicación para a convolución de Dirichlet ou simplemente a función unitaria (completamente multiplicativa). Ás veces escríbese como u(n), mais non se debe confundir con μ(n) .
• 1_C(n), a función indicadora do conxunto C ⊂ Z, para certos conxuntos C. A función indicadora 1_C(n) é multiplicativa precisamente cando o conxunto C ten a seguinte propiedade para calquera número coprimo a e b: o produto ab está en C se e só se os números a e b están ambos os dous en C. Este é o caso se C é o conxunto de cadrados, cubos ou k-ésimas potencias, ou se C é o conxunto de números sen cadrados.

Outros exemplos de funcións multiplicativas inclúen moitas funcións de importancia na teoría de números, como:

• gcd(n,k): o máximo común divisor de n e k, en función de n, onde k é un número enteiro fixo.
• $\phi (n)$: función totiente de Euler $\phi$, para contar os enteiros positivos coprimos ata n.
• μ(n): a función de Möbius, a paridade (−1 para impar, +1 para par) do número de factores primos de números libres de cadrados; 0 se n non está libre de cadrados.
• σ_k(n): a función divisor, que é a suma das k-ésimas potencias de todas os divisores positivos de n (onde k pode ser calquera número complexo). Casos especiais que temos
  • σ₀(n) = d(n) o número de divisores positivos de n' ',
  • σ₁(n) = σ(n), a suma de todos os divisores positivos de n.
• A suma das k-ésimas potencias dos divisores unitarios denótase por σ*_k(n):

${\sigma }_k^{*}(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{\gcd (d,n/d)=1}}{d}^k.$

• a(n): o número de grupos abelianos non isomorfos de orde n.
• λ(n): a función de Liouville, λ(n) = (−1)^Ω(n) onde Ω(n) é o número total de primos (contados coa multiplicidade) que dividen n. (completamente multiplicativa).
• γ(n), definido por γ(n) = (−1)^ω(n), onde a función aditiva ω(n) é a cantidade de números primos distintos que dividen n.
• τ(n): a función tau de Ramanujan.
• Todos os caracteres de Dirichlet son ​​funcións completamente multiplicativas. Por exemplo
  • $\left(\frac{n}{p}\right)$, o símbolo de Legendre, considerado como función de n onde p é un número primo.

Un exemplo de función non multiplicativa é a función aritmética r₂(n): o número de representacións de n como suma de cadrados de dous enteiros, positivo, negativo ou cero, onde ao contar o número de camiños se permite a inversión da orde. Por exemplo:

1 = 12 + 02 = (−1)2 + 0 2 = 02 + 12 = 02 + (−1)2

e polo tanto r₂(1) = 4 ≠ 1. Isto mostra que a función non é multiplicativa. No entanto, r₂(n)/4 é multiplicativa.

Na Enciclopedia en liña de secuencias enteiras, as secuencias de valores dunha función multiplicativa teñen a palabra clave "mult".

Vexa función aritmética para algúns outros exemplos de funcións non multiplicativas.

Propiedades elementais

Ser multiplicativa e multiplicativa completa consérvase por produto, módulo e conxugación.

Na súa definición, a primeira condición (a imaxe de 1 é igual a 1) pódese substituír por: a función é distinta de cero.

Se ƒ é multiplicativa daquela

$\mathrm{\forall }a,b\in {\mathbb{N}}^{*},f(a)f(b)=f(\gcd (a,b))f(\mathrm{lcm}(a,b))$

onde Modelo:Math é o máximo común divisor e Modelo:Math é o mínimo común múltiplo dos números enteiros.

Convolución de Dirichlet

A convolución de Dirichlet de dúas funcións aritméticas ƒ e g é a función Modelo:Nowrap definida por:

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)$

Ou " d|n » significa que a suma faise sobre todos os enteiros positivos d divisores de n.

Demóstrase logo que se ƒ e g son multiplicativas, Modelo:Nowrap tamén o é, e que o conxunto de funcións multiplicativas, equipadas con esta lei interna, é un grupo abeliano, con elemento neutro δModelo:Sub.

As relacións máis importantes verificadas son :

• μ ✻ Modelo:Math = δModelo:Sub,
• Modelo:Math ✻ Modelo:Math = Modelo:MathModelo:Sub e (pola inversión de Möbius) Modelo:Math = μ ✻ Modelo:Math Modelo:Sub, en particular
  • φ ✻ Modelo:Math = Modelo:Math e φ = μ ✻ Modelo:Math,
• σ Modelo:Sub = Modelo:Math Modelo:Sub ✻ Modelo:Math e (pola inversión de Möbius) Modelo:Math Modelo:Sub = σ Modelo:Sub ✻ μ, en particular
  • d = Modelo:Math ✻ Modelo:Math e Modelo:Math = d ✻ μ,
  • σ = Modelo:Math ✻ Modelo:Math e Modelo:Math = σ ✻ μ,
• σ Modelo:Sub = Modelo:Math ✻ d (a través de Modelo:Math Modelo:Sub ✻ Modelo:Math = Modelo:Math ✻ Modelo:Math ✻ Modelo:Math ), en particular
  • σ = φ✻d .

Produto de Euler

Formalmente, unha función aritmética f está asociada a unha serie de Dirichlet :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$ .

O produto formal da serie asociada a f e g é, por definición, a serie asociada a f ✻ g. Definimos de xeito análogo o produto formal dunha secuencia infinita de funcións aritméticas f Modelo:Sub, sempre que f Modelo:Sub (1) = 1 e que a serie que define cada coeficiente do produto sexa absolutamente converxente:

$\prod _i\sum _{n_i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f_i(n_i)}{n_i^s}:=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sum _{\prod n_i=n}\prod _i{f}_i(n_i)}{n^s}$ .

O caso máis importante é o dun produto de Euler, é dicir, onde os índices i son os números primos, entón soen denotarse máis ben pola letra p, no que as funcións aritméticas fModelo:Sub están definidas a partir dunha función multiplicativa f por: fModelo:Sub coincide con f nas potencias de p e é cero noutro lugar. Este produto (da serie asociada a fModelo:Sub) é entón igual á serie asociada a f. Se esta última é absolutamente converxente, esta igualdade formal tamén é certa no sentido da análise. Vexa a sección de exemplos do artigo sobre a serie Dirichlet.

Véxase tamén

Bibliografía

• S. Ramanujan, Some formulae in the analytic theory of numbers. Messenger 45 (1915), 81--84.

• E. Busche, Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen. Mitt. Math. Ges. Hamb. 4, 229--237 (1906)

• A. Selberg: Remarks on multiplicative functions. Number theory day (Proc. Conf., Rockefeller Univ., New York, 1976), pp. 232–241, Springer, 1977.

Outros artigos

• Ecuación funcional.
• Función aditiva.

Ligazóns externas

• Modelo:PlanetMath