Función de Möbius

A función de Möbius μ(n) é unha función multiplicativa na teoría dos números e combinatoria. Debe o seu nome ao matemático alemán August Ferdinand Möbius, quen a definiu en 1831.

Definición

Para todo enteiro positivo Modelo:Math, μ(n) está definido e pode ter tres valores: -1, 0, e 1, dependendo da factorización de Modelo:Math en primos:

• Modelo:Math se Modelo:Math ten como divisor un número natural ao cadrado, é dicir, que é dividido por un primo ao cadrado.
• Modelo:Math se Modelo:Math que é libre de cadrados (non ten como divisor outro número natural ao cadrado) e descompón nunha cantidade par de números primos.
• Modelo:Math se Modelo:Math non ten como divisor outro número natural ao cadrado e descompón nunha cantidade impar de números primos.

Equivalentemente,

$\mu (n)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ se }n=1\\ 0& \text{ se }{p}^2\mid n\text{ para certo primo }p\\ (-1{)}^r& \text{ se }n=p_1{p}_2\dots p_r\text{, e tódolos }{p}_i\text{ primos distintos}\end{array}$

Os primeiros 20 valores da función son:

Modelo:Math	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Modelo:Math	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

Propiedades

A función de Möbius é unha función multiplicativa, é dicir, se Modelo:Math e Modelo:Math son primos entre si, entón Modelo:Math.

A suma da función de Möbius aplicada a cada un dos divisores dun número Modelo:Math é cero, excepto para Modelo:Math

$\sum _{d\mid n}\mu (d)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }n=1,\\ 0& \text{if }n>1.\end{array}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro