Función simple

No campo matemático da análise real, unha función simple é unha función con valores reais (ou complexos) sobre un subconxunto da liña real, semellante a unha función en escada. As funcións simples son o suficientemente "agradábeis" como para que o seu uso facilite o razoamento matemático, a teoría e a demostración. Por exemplo, as funcións simples alcanzan só un número finito de valores. Algúns autores tamén requiren que as funcións simples sexan medíbeis; como se usa na práctica, xa isto é así.

Un exemplo básico dunha función simple podería ser a función chan sobre o intervalo semiaberto [1, 9), cuxos únicos valores son {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Un exemplo máis avanzado é a función de Dirichlet sobre a liña real, que toma o valor 1 se x é racional e 0 en caso contrario. (Así, o "simple" de "función simple" ten un significado técnico un pouco contrario á linguaxe común.) Tódalas funcións en escada son simples.

Definición

Formalmente, unha función simple é unha combinación linear finita de funcións indicadoras de conxuntos medíbeis. Máis precisamente, sexa (X, Σ) un espazo medíbel. Sexa A ₁ ,... , A _n ∈ Σ unha secuencia de conxuntos medíbeis disxuntos, e sexa a₁ ,... , a_n unha secuencia de números reais ou complexos. Unha función simple é unha función $f:X\to ℂ$ da forma

$f(x)=\sum _{k=1}^n{a}_k{\mathrm{𝟏}}_{A_k}(x),$

onde ${\mathrm{𝟏}}_A$ é a función indicadora do conxunto A .

Propiedades das funcións simples

A suma, a diferenza e o produto de dúas funcións simples son tamén funcións simples, tamén o é a multiplicación por unha constante; daí dedúcese que o conxunto de todas as funcións simples nun espazo medíbel dado forma unha álxebra conmutativa sobre $ℂ$.

Integración das funcións simples

Se unha medida μ está definida no espazo (X ,Σ), a integral de f en relación a μ é

$\sum _{k=1}^n{a}_k\mu (A_k),$

se todos os sumandos son finitos.

Relación coa integración de Lebesgue

A integral anterior pódese estender a unha clase máis xeral de funcións, que é como se define a integral de Lebesgue. Esta extensión baséase no seguinte feito.

Teorema. Calquera función medíbel non negativa $f:X\to {ℝ}^{+}$ é o límite por puntos dunha secuencia crecente monótona de funcións simples non negativas.

Está implícito na afirmación que a sigma-álxebra no co-dominio ${ℝ}^{+}$ é a restrición da σ-álxebra de Borel, $𝔅(ℝ)$ en ${ℝ}^{+}$. A proba procede do seguinte xeito:

Sexa $f$ unha función medíbel non negativa definida sobre o espazo de medida $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$. Para cada $n\in \mathbb{N}$, subdividimos o codominio de $f$ en $2^{2n}+1$ intervalos, $2^{2n}$ deles teñen lonxitude $2^{-n}$. É dicir, para cada $n$, definimos

$I_{n,k}=[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n})$ para $k=1,2,\dots ,2^{2n}$, e $I_{n,2^{2n}+1}=[2^n,\mathrm{\infty })$,

que son disxuntos e cobren a recta real non negativa ( ${ℝ}^{+}\subseteq {\cup }_k{I}_{n,k},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ ).

Agora definimos os conxuntos

$A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})$ para $k=1,2,\dots ,2^{2n}+1,$

que son medíbeis ($A_{n,k}\in \mathrm{\Sigma }$) porque $f$ suponse que é medíbel.

Daquela, a secuencia crecente de funcións simples

$f_n=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n}{\mathrm{𝟏}}_{A_{n,k}}$

converxe punto por punto en $f$ cando $n\to \mathrm{\infty }$. Teña en conta que, cando $f$ é limitada, a converxencia é uniforme.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Aut. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
• Modelo:Aut. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
• Modelo:Aut. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
• Modelo:Aut. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.

Outros artigos

• Función por tramos.
• Integral de Lebesgue
• Función medíbel de Bochner

Ligazóns externas

• Nota 5. Simple functionsModelo:Ligazón morta