Constante de Apéry

Modelo:Infobox En matemáticas, a constante de Apéry é a suma infinita dos recíprocos ao cubo dos números enteiros positivos. É dicir, defínese como o número

$\begin{array}{cc}\zeta (3)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{n^3}),\end{array}$

onde Modelo:Mvar é a función zeta de Riemann. Ten un valor aproximado de Modelo:Sfnp

Modelo:Math Modelo:OEIS.

Leva o nome de Roger Apéry, quen demostrou que é un número irracional.

Propiedades

Modelo:Unsolved Modelo:Math foi chamada constante de Apéry en honor ao matemático francés Roger Apéry, quen demostrou en 1978 que se trata dun número irracional.Modelo:Sfnp Este resultado é coñecido como Teorema de Apéry. A proba orixinal é complexa e difícil de comprender,Modelo:Sfnp e máis tarde atopáronse probas máis sinxelas.

A demostración de irracionalidade simplificada de Beukers implica aproximar o integrando da integral tripla coñecida para Modelo:Math ,

$\zeta (3)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1-xyz}dxdydz,$

polos polinomios de Legendre. En particular, o artigo de van der Poorten fai unha crónica deste enfoque sinalando que

$I_3:=-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{P_n(x)P_n(y)\log (xy)}{1-xy}dxdy=b_n\zeta (3)-a_n,$

onde $|I|\le \zeta (3)(1-\sqrt{2}{)}^{4n}$, $P_n(z)$ son os polinomios de Legendre e as subsecuencias $b_n,2\mathrm{lcm}(1,2,\dots ,n)\cdot a_n\in \mathbb{Z}$ son enteiros ou case enteiros.

Moita xente tentou estender a demostración de Apéry de que Modelo:Math é irracional a outros valores da función zeta de Riemann con argumentos impares. Aínda que ata agora isto non deu ningún resultado sobre números específicos, sábese que infinitas das constantes zeta impares Modelo:Math son irracionais.Modelo:Sfnp En particular, polo menos un de entre Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math debe ser irracional.Modelo:Sfnp

Representacións en series

Clásica

A maiores da serie fundamental:

$\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3},$

Leonhard Euler deu a representación en serie:Modelo:Sfnp

$\zeta (3)=\frac{{\pi }^2}{7}(1-4\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)})$

en 1772, que posteriormente foi redescuberta varias veces.Modelo:Sfnp

Converxencia rápida

A seguinte representación da serie foi atopada por A. A. Markov en 1890,Modelo:Sfnp redescuberta por Hjortnaes en 1953,Modelo:Sfnp e redescuberta unha vez máis e amplamente anunciada por Apéry en 1979: Modelo:Sfnp

$\zeta (3)=\frac{5}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{k{!}^2}{(2k)!k^3}.$

A seguinte representación en serie dá (asintoticamente) 5,04 novas cifras decimais correctas por termo:

$\zeta (3)=\frac{1}{24}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(2k+1){!}^3(2k){!}^{3}k{!}^3(126392k^5+412708k^4+531578k^3+336367k^2+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3){!}^3}.$

Utilizouse para calcular a constante de Apéry con varios millóns de cifras decimais correctas.

Ramanujan atopou a seguinte representación da serie :

$\zeta (3)=\frac{7}{180}{\pi }^3-2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}-1)}.$

Representacións con integrais

Fórmulas sinxelas

A seguinte fórmula segue directamente da definición integral da función zeta:

$\zeta (3)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{e^x-1}dx$

Unha conexión coas derivadas da función gamma

$\zeta (3)=-\frac{1}{2}({\mathrm{\Gamma }}^{‴}(1)+{\gamma }^3+\frac{1}{2}{\pi }^2\gamma )=-\frac{1}{2}{\psi }^{(2)}(1)$

tamén é moi útil para a dedución de varias representacións integrais a través das fórmulas integrais coñecidas para as funcións gamma e poligamma.Modelo:Sfnp

Fracción continua

A constante de Apéry está relacionada coa seguinte fracción continua:

$\frac{6}{\zeta (3)}=5-\frac{1}{117-\frac{64}{535-\frac{729}{1436-\frac{4096}{3105-\frac{15625}{\dots }}}}}$

con $a_n=34n^3+51n^2+27n+5$ e $b_n=-n^6$ .

A súa fracción continua simple vén dada por:

$\zeta (3)=1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{18+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\dots }}}}}}$

Díxitos coñecidos

O número de díxitos coñecidos da constante Modelo:Math de Apéry aumentou drasticamente durante as últimas décadas, e agora sitúase en máis de $2\cdot 10^{12}$. Isto débese tanto ao aumento do rendemento dos ordenadores como ás melloras algorítmicas.

Número de díxitos decimais coñecidos da constante de Apéry Modelo:Math

Data	Díxitos decimais	Cálculo realizado por
1735	16	Leonhard Euler
Unknown	16	Adrien-Marie Legendre
1887	32	Thomas Joannes Stieltjes
1996	Modelo:Val	Greg J. Fee & Simon Plouffe
xullo 26, 2020	Modelo:Val	Seungmin Kim
decembro 22, 2023	Modelo:Val	Andrew Sun

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita revista.
• Modelo:Cita revista.
• Modelo:Cita revista.
• Modelo:Cita revista.
• Modelo:Cita revista (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).

• Modelo:Cita revista

• Modelo:Cita revista
• Modelo:Cita revista.
• Modelo:Cita arXiv.

Outros artigos

• Función zeta de Riemann.
• Medida da irracionalidade.

Ligazóns externas

• Modelo:Mathworld
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.