Centroide (Baricentro)

Baricentro (Centroide) dun triángulo

En matemáticas e física, o centroide, tamén coñecido como centro xeométrico, dunha figura plana ou sólida é a posición media aritmética de todos os puntos da superficie da figura. A mesma definición esténdese a calquera obxecto nun espazo euclidiano n-dimensional.

Outra definición de centroide dun plano ou domínio espacial é a de ser un punto de equilíbrio para unha determinada medida nese domínio. Corresponde ao centro de simetría cando o domínio ten dito centro de simetría. A súa existéncia e exclusividade son garantidas cando o dominio for de medida finita..

En xeometría, adóitase asumir unha densidade de masa uniforme, nese caso o baricentro e o centro de masas coinciden co centroide. Informalmente, pódese entender como o punto no que un obxecto (con masa uniformemente distribuída) podería estar perfectamente equilibrado na punta dun alfinete.

En xeografía, o centroide dunha proxección radial dunha rexión da superficie terrestre ata o nivel do mar é o centro xeográfico da rexión.

Propiedades

O centroide xeométrico dun obxecto convexo sempre reside no obxecto. Un obxecto non convexo pode ter un centroide que estea fóra da propia figura. O centroide dun anel ou dunha cunca, por exemplo, atópase no oco central do obxecto.

Se o centroide está definido, é un punto fixo de todas as isometrías do seu grupo de simetría. En particular, o centroide xeométrico dun obxecto atópase na intersección de todos os seus hiperplanos de simetría. O centroide de moitas figuras (polígono regular, poliedro regular, cilindro, rectángulo, rombo, círculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc.) pódese determinar só por este principio.

En particular, o centroide dun paralelogramo é o punto de encontro das súas dúas diagonais. Isto non é certo para outros cuadriláteros.

Polo mesmo motivo, o centroide dun obxecto con simetría de translación non está definido (ou está fóra do espazo circundante), porque unha translación non ten punto fixo.

Exemplos

O baricentro dun triángulo é a intersección das tres medianas do triángulo (cada mediana conecta un vértice co punto medio do lado oposto).

Determinación

Dun conxunto finito de puntos

O centroide dun conxunto finito de $k$ puntos ${𝐱}_1,{𝐱}_2,\dots ,{𝐱}_k$ en ${ℝ}^n$ é $$𝐂=\frac{{𝐱}_1+{𝐱}_2+\cdots +{𝐱}_k}{k}.$$Este punto minimiza a suma das distancias euclidianas ao cadrado entre el mesmo e cada punto do conxunto.

Por descomposición xeométrica

O centroide dunha figura plana $X$ pódese calcular dividíndoo nun número finito de figuriñas máis sinxelas $X_1,X_2,\dots ,X_n,$ calculando o centroide $C_i$ e zona $A_i$ de cada parte, e despois calculando para as coordenadas x e y

$$C_x=\frac{\sum _i{C_i}_x{A}_i}{\sum _i{A}_i},C_y=\frac{\sum _i{C_i}_y{A}_i}{\sum _i{A}_i}.$$

Por exemplo, a figura seguinte (a) divídese facilmente nun cadrado e nun triángulo, ambos con área positiva; e un buraquiño circular, con área negativa (b).

O centroide de cada parte pódese atopar nunha lista de centroides de formas simples (c). Logo, o centroide da figura é a media ponderada dos tres puntos. A posición horizontal do centroide, dende o bordo esquerdo da figura é $$x=\frac{5\times 10^2+13.33\times \frac{1}{2}10^2-3\times \pi 2.5^2}{10^2+\frac{1}{2}10^2-\pi 2.5^2}\approx 8.5\text{ unidades}.$$ A posición vertical do centroide atópase do mesmo xeito.

A mesma fórmula vale para calquera subconxunto de ${ℝ}^d,$ para calquera dimensión $d,$ coas áreas substituídas polas $d$-medidas dimensionais das pezas.

Por fórmula integral

O centroide dun subconxunto $X$ de ${ℝ}^n$ tamén se pode calcular mediante a fórmula

$$C=\frac{\int xg(x)dx}{\int g(x)dx}$$

onde as integrais son tomadas sobre todo o espazo ${ℝ}^n,$ e $g$ é a función indicadora do subconxunto $X$ de ${ℝ}^n:g(x)=1$ se $x\in X$ e $g(x)=0$ en caso contrario. Teña en conta que o denominador é simplemente a medida do conxunto $X.$ Esta fórmula non se pode aplicar se o conxunto $X$ ten medida cero, ou se calquera das integrais diverxe.

Dunha rexión delimitada

O centroide $(\overline{x},\overline{y})$ dunha rexión limitada polas gráficas das funcións continuas $f$ e $g$ tal que $f(x)\ge g(x)$ no intervalo $[a,b],$$a\le x\le b$ está dada por

$$\begin{array}{cc}\overline{x}& =\frac{1}{A}\underset{a}{\overset{b}{\int }}x(f(x)-g(x))dx,\\ \overline{y}& =\frac{1}{A}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{2}(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))dx,\end{array}$$

onde $A$ é a área da rexión (dada por ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ ).

Dun triángulo

O centroide ou baricentro dun triángulo é o punto de intersección das súas medianas (as liñas que unen cada vértice co punto medio do lado oposto). O centroide divide cada unha das medianas na relación $2:1,$ é dicir está situado $\frac{1}{3}$ da distancia de cada lado ao vértice oposto (ver as figuras laterais). As súas coordenadas cartesianas son as medias das coordenadas dos tres vértices. É dicir, se os tres vértices o son $L=(x_L,y_L),$$M=(x_M,y_M),$ e $N=(x_N,y_N),$ a continuación, o centroide (indicado $C$ aquí pero denotado máis habitualmente $G$ en xeometría do triángulo ) é

$$C=\frac{1}{3}(L+M+N)=(\frac{1}{3}(x_L+x_M+x_N),\frac{1}{3}(y_L+y_M+y_N)).$$

O centroide está polo tanto en $\frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3}$ en coordenadas baricéntricas.

En coordenadas triliniares o centroide pódese expresar de calquera destes xeitos equivalentes en termos de lonxitudes dos lados $a,b,c$ e ángulos vértices Modelo:Nowrap

$$\begin{array}{cc}C& =\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\ & =\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\ & =\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M.\end{array}$$

O centroide tamén é o centro físico de masas se o triángulo está feito dunha folla uniforme de material.

O conxugado isogonal do centroide dun triángulo é o seu punto simediano.

Dun polígono

O centroide dun polígono pechado non autointersecante definido por $n$ vértices $(x_0,y_0),$$(x_1,y_1),\dots ,$$(x_{n-1},y_{n-1}),$ é o punto $(C_x,C_y),$

$$C_{\mathrm{x}}=\frac{1}{6A}\sum _{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i),$$

$$C_{\mathrm{y}}=\frac{1}{6A}\sum _{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i),$$

e onde $A$ é a área con signo do polígono, como se describe pola fórmula da área de Gauss:

$$A=\frac{1}{2}\sum _{i=0}^{n-1}(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i).$$

Nestas fórmulas, suponse que os vértices están numerados por orde de aparición ao longo do perímetro do polígono; ademais, o vértice $(x_n,y_n)$ suponse que é o mesmo que $(x_0,y_0),$ pechando o polígono.

Dun tetraedro e un simplex Modelo:Mvar-dimensional

Un tetraedro é un obxecto no espazo tridimensional que ten como caras catro triángulos. Un segmento de liña que une un vértice dun tetraedro co centroide da cara oposta chámase mediana, e un segmento de liña que une os puntos medios de dúas arestas opostas chámase bimediana. Polo tanto, hai catro medianas e tres bimedianas. Estes sete segmentos de liña reúnense no centroide do tetraedro. As medianas divídense polo centroide na relación $3:1.$ O centroide dun tetraedro é o punto medio entre o seu punto de Monge e o circuncentro (centro da esfera circunscrita). Estes tres puntos definen a recta de Euler do tetraedro que é análoga á recta de Euler dun triángulo.

Estes resultados xeneralízanse a calquera simplex $n$-dimensional do seguinte xeito. Se o conxunto de vértices dun simplex é $v_0,\dots ,v_n,$ entón considerando os vértices como vectores, o centroide é

$$C=\frac{1}{n+1}\sum _{i=0}^n{v}_i.$$

O centroide xeométrico coincide co centro de masas se a masa se distribúe uniformemente por todo o simplex ou se concentra nos vértices como $n+1$ masas iguais.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Centro de Chebyshev
• algoritmo das k-medias
• Lista de centroides
• Teorema de Pappus-Guldin

Ligazóns externas

• Modelo:Mathworld
• Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. O baricentro está indicado como X(2).
• Characteristic Property of Centroid en cut-the-knot
• Animacións interactivas a mostrar o baricentro do triángulo e a construción do centroide con compás e regra
• procura experimentalmente as medianas e o centroide dun triángulo en Dynamic Geometry Sketches, un bosquexo interactivo de xeometría dinámica usando o simulador de gravidade de Cinderella.

Modelo:Control de autoridades