Polígono regular

Un polígono regular de sete lados

En xeometría, denomínase polígono regular a un polígono con lados e ángulos interiores iguais entre si. Os polígonos regulares de tres e catro lados chámanse triángulo equilátero e cadrado, respectivamente. Para polígonos de máis lados, engádese o termo regular (pentágono regular, hexágono regular, octógono regular etc). Só algúns polígonos regulares poden ser construídos con regra e compás.

Elementos dun polígono regular

• Lado, L: é cada un dos segmentos que forman o polígono.
• Vértice, V: o punto de unión de dous lados consecutivos.
• Centro, C: o punto central equidistante de todos os vértices.
• Raio, r: o segmento que une o centro do polígono cun dos seus vértices.
• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, ata o centro do polígono.
• Diagonal, d: segmento que une dous vértices non contiguos.
• Perímetro, P: é a suma da medida da súa contorna.
• Semiperímetro, SP: é a semisuma do perímetro.
• Saxita, S: parte do raio comprendida entre o punto medio do lado e o arco de circunferencia. A suma do apotema: a máis a saxita: S, é igual ao raio: r.

Propiedades dun polígono regular

• os polígonos regulares son equiláteros, posto que todos os seus lados son da mesma medida.
• os polígonos regulares son equiangulares, posto que todos os seus ángulos interiores teñen a mesma medida.
• os polígonos regulares pódense inscribir nunha circunferencia.

Ángulos dun polígono regular

Ángulos dun polígono regular.

• Todos os ángulos centrais dun polígono regular son congruentes e a súa medida α pode obterse a partir do número de lados n do polígono como segue:

$\alpha =\frac{360^{\circ }}{n}$ en graos sexaxesimais

$\alpha =\frac{2\pi }{n}$ en radiáns

• O ángulo interior, $\beta$, dun polígono regular mide:

$\beta =180^{\circ }\cdot \frac{(n-2)}{n}$ en graos sexaxesimais

$\beta =\pi \cdot \frac{(n-2)}{n}$ en radiáns

• A suma dos ángulos interiores, $\sum \beta$, dun polígono regular é de:

$\sum \beta =180^{\circ }\cdot (n-2)$ en graos sexaxesimais

$\sum \beta =\pi \cdot (n-2)$ en radiáns

• O ángulo exterior, $\gamma$, dun polígono regular é de:

$\gamma =180^{\circ }-\beta =\frac{360^{\circ }}{n}$ en graos sexaxesimais

$\gamma =\pi -\beta =\frac{2\pi }{n}$ en radiáns

• A suma dos ángulos exteriores, $\sum \gamma$, dun polígono regular é:

$\sum \gamma =360^{\circ }$ en graos sexaxesimais

$\sum \gamma =2\pi$ en radiáns

Galería de polígonos regulares

• 
  Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)
• 
  Cadrado (cuadrilátero regular) (4)
• 
  Pentágono regular (5)
• 
  Hexágono regular (6)
• 
  Heptágono regular (7)
• 
  Octógono regular (8)
• 
  Enneágono regular (9)
• 
  Decágono regular (10)
• 
  hendecágono regular (11)
• 
  Dodecágono regular (12)
• 
  Tridecágono regular (13)
• 
  Tetradecágono regular (14)

Observación: A medida que aumenta o número de lados dun polígono regular, aseméllase máis a unha circunferencia.

Área dun polígono regular

Existen diversas fórmulas para calcular a área dun polígono regular, dependendo dos elementos coñecidos.

En función do perímetro e o apotema

A área dun polígono regular, coñecendo o perímetro e o apotema é:

$A=\frac{P\cdot a}{2}$

En función do número de lados e o apotema

Sabendo que:

$A_p=\frac{L\cdot n\cdot a}{2}$

Ademais $\delta =\frac{\pi }{n}$, xa que é a metade dun ángulo central (considerado en radiáns).

Observando a imaxe, é posible deducir que:

$L=2\cdot a\cdot \tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$

Substituíndo o lado:

$A_p=\frac{(2\cdot a\cdot \tan \left(\frac{\pi }{n}\right))\cdot n\cdot a}{2}$

Finalmente:

$A_p=a^2\cdot n\cdot \tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$

Con esta fórmula pódese determinar a área co número de lados e o apotema, sen necesidade de recorrer ao perímetro.

En función do número de lados e o raio

Un polígono queda perfectamente definido polo seu número de lados n, e o raio r, polo tanto pódese determinar cal é a súa área; á vista da figura, tense que:

$L=2r\sin (\delta )$

$a=r\cos (\delta )$

onde o ángulo central é:

$\alpha =2\delta =\frac{2\pi }{n}$

sabendo que a área dun polígono é:

$A_p=\frac{L\cdot n\cdot a}{2}$

e substituíndo o valor do lado e o apotema calculados antes, tense:

$A_p=\frac{2r\sin (\delta )\cdot n\cdot r\cos (\delta )}{2}$

ordenando:

$A_p=\frac{n{r}^2\cdot 2\sin (\delta )\cos (\delta )}{2}$

sabendo que:

$2\sin (\delta )\cos (\delta )=\sin (2\delta )$

resulta:

$A_p=\frac{n{r}^2\sin (\alpha )}{2}$

ou o que é o mesmo:

$A_p=\frac{n{r}^2\sin (\frac{2\pi }{n})}{2}$

Con esta expresión pódese calcular a área do polígono, coñecendo só o número de lados e o seu raio, o que resulta útil en moitos casos.

En función da lonxitude e o número de lados

Se se quere expresar a área en función do lado, pódese calculalo da seguinte maneira:

$A_p=n\cdot \frac{L\cdot a}{2}$

Sexa $\phi$ o ángulo formado polo Lado "L" e o raio "r":

$\phi =\frac{\pi -\alpha }{2}=\frac{\pi -\frac{2\pi }{n}}{2}=\frac{\pi }{2}\frac{(n-2)}{n}$

O valor do apotema en función do lado será, pola definición da tanxente:

$\tan \phi =\frac{a}{\frac{L}{2}}=\frac{2a}{L}$

Despexando o apotema tense:

$a=\frac{L\cdot \tan \phi }{2}$

Substituíndo o apotema polo seu valor:

$\begin{array}{c}{A}_p=n\cdot \frac{L\cdot a}{2}\\ \\ a=\frac{L\cdot \tan \phi }{2}\\ \\ \phi =\frac{\pi }{2}\frac{(n-2)}{n}\end{array}\}⟶A_p=n\cdot \frac{L^2}{4}\cdot \tan \left(\frac{\pi }{2}\frac{(n-2)}{n}\right)$

Pódese ver no debuxo que $tan(\delta )=\frac{1}{tan(\phi )}$ e a fórmula pode escribirse tamén como $A_p=\frac{n\cdot L^2}{4\cdot \tan \left(\frac{180^o}{n}\right)}$.

Co que coñecendo o número de lados do polígono regular e a lonxitude do lado pódese calcular a súa superficie.

Diagonais dun polígono regular

Número de diagonais

Para determinar o número de diagonais N_d, dun polígono de n vértices realízase o seguinte razoamento:

• Dun vértice calquera partirán (n – 3) diagonais, onde n é o número de vértices, dado que non hai ningún diagonal que o unha consigo mesmo nin con ningún dos dous vértices contiguos.
• Isto é válido para os n vértices do polígono.
• Unha diagonal une dous vértices, polo que aplicando o razoamento anterior teríanse o dobre de diagonais das existentes.

Segundo o razoamento tense que:

$N_d=\frac{n(n-3)}{2}$

Lonxitude da diagonal máis pequena

A diagonal máis pequena dun polígono regular é a que une dous vértices alternos. Para determinar a súa lonxitude, pártese do ángulo central e do raio, o raio que pasa polo vértice intermedio, corta a diagonal no punto A; este raio e a diagonal son perpendiculares en A.

O triángulo VAC é rectángulo en A, polo tanto:

$\sin (\alpha )=\frac{\frac{d}{2}}{r}$

que resulta:

$\sin (\alpha )=\frac{d}{2r}$

de onde se deduce que:

$d=2r\sin (\alpha )$

Sabendo o valor do ángulo central:

$d=2r\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)$

A diagonal máis pequena dun polígono regular, só depende do raio e do número de lados, sendo maior canto maior sexa o raio e diminuíndo de lonxitude cando aumenta o número de lados do polígono.

Lonxitude das diagonais

En xeral a lonxitude das diagonais dun polígono regular vén dada pola relación de recorrencia

$d_k^2=L^2+d_{k-1}^2+2\cdot L\cdot d_{k-1}\cdot \cos \left(\frac{k+1}{n}\pi \right)$

$L=2\cdot r\cdot \sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$

$d_1=4\cdot r\cdot \sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\cdot \cos \left(\frac{\pi }{n}\right)=2\cdot r\cdot \sin \left(\frac{2\cdot \pi }{n}\right)$

$d_2=2\cdot r\cdot \sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\sqrt{1+4{\cos }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)+4\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)\cos \left(\frac{3\cdot \pi }{n}\right)}$

$d_3^2=4\cdot r^2\cdot {\sin }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)(2+4{\cos }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)+4\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)\cos \left(\frac{3\cdot \pi }{n}\right)+2\sqrt{1+4{\cos }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)+4\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)\cos \left(\frac{3\cdot \pi }{n}\right)}\cos \left(\frac{4\cdot \pi }{n}\right))$

$...$

$d_k=r\cdot \sqrt{2(1-\cos \left(\frac{2(k+1)\pi }{n}\right))}$

$d_k=2\cdot r\cdot \sin \left(\frac{(k+1)\pi }{n}\right)$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Ligazóns externas

• Polígono regular Modelo:Webarchive