Distribución de Cauchy

Modelo:Outros homónimos Modelo:Modelo de distribución de probabilidade A distribución de Cauchy, coñecida tamén como distribución Cauchy-Lorentz en honor a Augustin Cauchy e Hendrik Lorentz, é unha distribución de probabilidade continua. No campo da Física coñécese como distribución de Lorentz, función Lorentziana ou distribución de Breit-Wigner. A súa importancia na física vén dada por ser a solución da ecuación diferencial que describe a resonancia forzada. En espectroscopia describe a forma das liñas espectrais que son ampliadas por diversos mecanismos, en particular, o mecanismo de alargamento por colisión.

Características

• A función de densidade dunha distribución de Cauchy é:

$\begin{array}{cc}f(x;x_0,\gamma )& =\frac{1}{\pi \gamma [1+{\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)}^2]}\\ & =\frac{1}{\pi }\left[\frac{\gamma }{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}\right]\end{array}$,

onde x₀ é o parámetro que especifica a localización do pico da distribución, e γ é o parámetro de escala que especifica a largura media ao máximo medio (half-width at half-maximum, HWHM).

O caso especial no que x₀ = 0 e γ = 1 denomínase distribución estándar de Cauchy, que ten a función de densidade de probabilidade:

$f(x;0,1)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}.$.

• En xeral a distribución de Cauchy non ten esperanza matemática nin varianza.
• A función de distribución é $F(x;x_0,\gamma )=\frac{1}{\pi }\arctan \left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)+\frac{1}{2}$ e a función inversa de distribución é $F^{-1}(p;x_0,\gamma )=x_0+\gamma \tan \left[\pi (p-\frac{1}{2})\right].$
• A función característica da distribución Cauchy está ben definida:

${\varphi }_x(t;x_0,\gamma )=\mathrm{E}(e^{iXt})=\exp (i{x}_{0}t-\gamma |t|).$

Propiedades

A distribución de Cauchy é un exemplo dunha distribución que non ten momentos definidos. A súa moda e a súa mediana están ben definidas e son ambas iguais a x₀.

Cando U e V son dúas variables aleatorias independendentes e normalmente distribuídas con media igual a 0 e varianza igual a 1, entón a razón U/V segue a distribución estándar de Cauchy.

Se X₁, …, X_n son variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas, cada unha cunha distribución de Cauchy, entón a media da mostra ($\frac{X_1+...+X_n}{n}$) ten a mesma distribución Cauchy estándar (a media da mostra, que non está afectada polos valores extremos, pode ser empregada como medida da tendencia central). Para comprobar que isto é certo calcúlase a función característica da media da mostra:

${\varphi }_{\bar{X}}(t)=\mathrm{E}\left(e^{i\bar{X}t}\right)$

onde $\bar{X}$ é a media da mostra. Este exemplo serve para demostrar que a hipótese da varianza finita no teorema central do límite non pode ser eliminada, ao igual que a hipótese da esperanza finita na lei dos grandes números. É tamén un exemplo dunha versión máis xeneralizada do teorema central do límite que é característica de todas as distribucións asimétricas alpha-estables de Lévy, das que a distribución de Cauchy é un caso especial.

A distribución de Cauchy é unha función de distribución infinitamente divisible. É tamén unha distribución estritamente estable.

A distribución de Cauchy coincide coa distribución t de Student cun grao de liberdade.

Se $U$ e $V$ son dúas variables aleatorias uniformes entre -1 e 1 e $U^2+V^2<1$, entón o cociente $U/V$ segue a distribución de Cauchy.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• GNU Scientific Library - Reference Manual
• Calculadora da distribución de Cauchy