Función característica

A función característica dunha variable aleatoria ou da súa distribución de probabilidade é unha función de variable real que toma valores complexos e que permite a aplicación de métodos analíticos (é dicir, da análise funcional) no estudo da probabilidade.

Historia

O método das funcións características foi introducido nas probabilidades por A. Lyapunov en 1904 para a demostración do teorema central do límite que hoxe leva o seu nome. A versión definitiva deste teorema foi obtida posteriormente por J. W. Lindeberg.

Definición

Dada unha variable aleatoria continua $X$ a súa función característica, que se denota mediante ${\phi }_X(t)$ para $t$ real, defínese como

${\phi }_X:ℝ\to ℂ;{\phi }_X(t)=𝔼\left[e^{itX}\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}{f}_X(x)dx$

onde se fai uso da función exponencial complexa e $𝔼$ denota a esperanza matemática. Usando as propiedades da función exponencial complexa, a función característica pode rescribirse en termos dunha parte real e unha imaxinaria:

${\phi }_X(t)=𝔼[\cos (tX)]+i𝔼[\sin (tX)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (tx)f_X(x)dx+i\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (tx)f_X(x)dx$

Momentos

Cando os momentos dunha variable aleatoria existen, pódense calcular mediante as derivadas da función característica. Derivando formalmente ambos lados da definición e tomando $t=0$, Modelo:Ecuación e derivando dúas veces e substituíndo $t=0$ resulta Modelo:Ecuación Desta maneira pódense obter expresións que permiten determinar a varianza e esperanza de $X$. Analogamente, se relacionan momentos e derivadas de ordes superiores: Modelo:Ecuación

Probabilidade e análise funcional

En análise funcional se se identifica a distribución da variable aleatoria considerada cunha medida positiva, a función característica denomínase transformada de Fourier da medida correspondente.

Función xeradora de momentos

Unha función relacionada coa función característica é a función xeradora de momentos, designada como $M_X(t)$ que se define mediante Modelo:Ecuación Aínda que esta función é máis sinxela, non sempre existe, dado que a esperanza matemática que a define pode non existir, dependiendo da distribución da variable aleatoria e do valor de $t$.