Subgrupo característico
En matemáticas, particularmente na área da álxebra abstracta coñecida como teoría de grupos, un subgrupo característico é un subgrupo que é asignado a si mesmo por cada automorfismo do grupo pai.[1][2] Debido a que cada mapa de conxugación é un automorfismo interno, cada subgrupo característico é normal; aínda que a inversa non está garantida. Exemplos de subgrupos característicos inclúen o subgrupo conmutador e o centro dun grupo.
Definición
Un subgrupo Modelo:Math dun grupo Modelo:Math chámase subgrupo característico se para cada automorfismo Modelo:Math de Modelo:Math, temos Modelo:Math; entón escríbese Modelo:Math.
Sería equivalente a esixir a condición máis forte Modelo:Math = Modelo:Math para cada automorfismo Modelo:Math de Modelo:Math, porque Modelo:Math implica a inclusión inversa Modelo:Math .
Propiedades básicas
Dado Modelo:Math, todo automorfismo de Modelo:Math induce un automorfismo do grupo cociente Modelo:Math, que produce un homomorfismo Modelo:Math .
Se Modelo:Math ten un único subgrupo Modelo:Math dun índice dado, entón Modelo:Math é característico en Modelo:Math.
Conceptos relacionados
Subgrupo normal
Un subgrupo de Modelo:Math que é invariante baixo todos os automorfismos internos chámase normal; tamén, un subgrupo invariante.
Dado que Modelo:Math e un subgrupo característico é invariante baixo todos os automorfismos, todo subgrupo característico é normal. No entanto, non todos os subgrupos normais son característicos. Aquí temos algún exemplo:
- Sexa Modelo:Math un grupo non trivial e sexa Modelo:Math o produto directo, Modelo:Math. Entón os subgrupos, Modelo:Math e Modelo:Math, son normais, mais ningún é característico. En particular, ningún destes subgrupos é invariante baixo o automorfismo, Modelo:Math, que troca os dous factores.
- Para un exemplo concreto disto, sexa Modelo:Math o grupo-catro de Klein (que é isomorfo ao produto directo, ). Dado que este grupo é abeliano, cada subgrupo é normal; mais cada permutación dos 3 elementos que non son a identidade é un automorfismo de Modelo:Math, polo que os 3 subgrupos de orde 2 non son característicos. Aquí, tendo Modelo:Math}. Considere Modelo:Math e considere o automorfismo, Modelo:Math; entón Modelo:Math non está contido en Modelo:Math.
Transitividade
A propiedade de ser característico ou totalmente característico é transitiva; se Modelo:Math é un subgrupo (totalmente) característico de Modelo:Math, e Modelo:Math é un subgrupo (totalmente) característico de Modelo:Math, entón Modelo:Math é un subgrupo (totalmente) característico de Modelo:Math .
A maiores, aínda que a normalidade non é transitiva, é certo que todo subgrupo característico dun subgrupo normal é normal.
Porén, a diferenza da normalidade, se Modelo:Math e Modelo:Math é un subgrupo de Modelo:Math que contén Modelo:Math, entón en xeral Modelo:Math non é necesariamente característico en Modelo:Math .
Exemplos
Exemplo finito
Considere o grupo Modelo:Math (o grupo de orde 12 que é o produto directo do grupo simétrico de orde 6 e un grupo cíclico de orde 2). O centro de Modelo:Math é isomorfo ao seu segundo factor . Teña en conta que o primeiro factor, Modelo:Math, contén subgrupos isomorfos a , por exemplo Modelo:Math} ; sexa o mapa do morfismo no subgrupo indicado. A continuación, a composición da proxección de Modelo:Math sobre o seu segundo factor , seguido de Modelo:Math, seguido da inclusión de Modelo:Math en Modelo:Math como o seu primeiro factor, proporciona un endomorfismo de Modelo:Math baixo o cal a imaxe do centro, , non está contido no centro, polo que aquí o centro non é un subgrupo totalmente característico de Modelo:Math.
Grupos cíclicos
Todo subgrupo dun grupo cíclico é característico.
Grupos topolóxicos
O compoñente identidade dun grupo topolóxico é sempre un subgrupo característico.