Converxencia absoluta

En matemáticas, dise que unha serie infinita de números converxen absolutamente (ou son absolutamente converxentes) se a suma dos valores absolutos dos sumandos é finita. Máis precisamente, unha serie real ou complexa ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ dise que converxe absolutamente se ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|=L$ para algún número real $L.$

Do mesmo xeito, unha integral impropia dunha función, ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx,$ dise que converxe absolutamente se a integral do valor absoluto do integrando é finita, é dicir, se ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}|f(x)|dx=L.$

Unha serie converxente que non é absolutamente converxente chámase condicionalmente converxente.

Contexto

Ao engadir un número finito de termos, a suma é tanto asociativa como conmutativa, o que significa que o agrupamento e a reordenación non alteran a suma final. Por exemplo, $(1+2)+3$ é igual a ambos $1+(2+3)$ e $(3+2)+1$. Porén, a asociatividade e a conmutatividade non se cumpren necesariamente para sumas infinitas. Un exemplo é a serie harmónica alterna

$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$

cuxos termos son fraccións que se alternan en signo. Esta serie é converxente e pódese avaliar usando a serie de Maclaurin para a función $\ln (1+x)$, que converxe para todos os $x$ que satisfán $-1<x\le 1$:

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$

Substituíndo $x=1$ revela que a suma orixinal é igual a $\ln 2$.

Mais resulta que a suma tamén se pode reorganizar do seguinte xeito:

$S=(1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12}+\cdots$

Nesta reordenación, o recíproco de cada número impar agrúpase co recíproco do duplo do seu valor, mentres que os recíprocos de cada múltiplo de 4 avalíanse por separado. Con esta reordenación avaliando os termos entre parénteses temos o resultado

$S=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots$

que é a metade da serie orixinal.

A violación da asociatividade e da conmutividade deste tipo de sumas revela que a serie harmónica alterna é condicionalmente converxente.

A suma dos valores absolutos de cada termo da serie harmónica $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$ é diverxente. Segundo o teorema de reordenación de Riemann, calquera serie condicionalmente converxente pode ser reordenada de tal modo que a súa suma sexa calquera número real finito ou para que diverxa.

Pola contra, cando se reordena unha serie absolutamente converxente, a súa suma sempre se conserva.

Definición para números reais e complexos

Unha suma de números reais ou complexos ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ é absolutamente converxente se a suma dos valores absolutos dos termos ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ converxe.

Sumas de elementos máis xerais

A mesma definición pódese usar para as series ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ cuxos termos $a_n$ non son números senón elementos dun grupo topolóxico abeliano arbitrario. Nese caso, en lugar de usar o valor absoluto, a definición require que o grupo teña unha norma, que é unha función positiva con valor real $\Vert \cdot \Vert :G\to {ℝ}_{+}$ nun grupo abeliano $G$ (escrito aditivo, co elemento de identidade 0) tal que:

1. A norma do elemento identidade de $G$ é cero: $\Vert 0\Vert =0.$
2. Para todo $x\in G,$$\Vert x\Vert =0$ implica $x=0.$
3. Para todo $x\in G,$$\Vert -x\Vert =\Vert x\Vert .$
4. Para todo $x,y\in G,$$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$

Neste caso, a función $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ induce a estrutura dun espazo métrico (un tipo de topoloxía) sobre $G.$

Entón, unba serie don valores en $G$ é absolutamente converxente se ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert a_n\Vert <\mathrm{\infty }.$

Converxencia absoluta de integrais

A integral $\underset{A}{\int }f(x)dx$ dunha función real ou de valores complexos dise que converxe absolutamente se $\underset{A}{\int }|f(x)|dx<\mathrm{\infty }.$

Tamén se di que $f$ é absolutamente integrábele. A cuestión da integrabilidade absoluta é complicada e depende de se se considera a integral de Riemann, Lebesgue ou Kurzweil-Henstock.

Para a integral de Riemann, tamén depende de se só consideramos a integrabilidade no seu sentido propio ($f$ e $A$ ambos os dous limitados) ou permiten o caso máis xeral de integrais impropias.

Como propiedade estándar da integral de Riemann, cando $A=[a,b]$ é un intervalo limitado, toda función continua é limitada e (Riemann) integrábel, e xa que $f$ continua implica $|f|$ continua, toda función continua é absolutamente integrábel.

De feito, xa que $g\circ f$ é Riemann integrábel en $[a,b]$ se $f$ é (propiamente) integrábel e $g$ é continua, dedúcese que $|f|=|\cdot |\circ f$ é propiamente Riemann integrábel se o é $f$.

No entanto, esta implicación non se aplica no caso das integrais impropias. Por exemplo, a función $f:[1,\mathrm{\infty })\to ℝ:x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ é unha integral impropia de Riemann con dominio ilimitado (infinito na parte superior), mais non é absolutamente integrable: $$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{1}{2}[\pi -2\mathrm{S}\mathrm{i}(1)]\approx 0.62,\text{ mais }\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx=\mathrm{\infty }.$$De feito, de xeito máis xeral, dada calquera serie ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ pódese considerar a función en escada asociada $f_a:[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$ definida por $f_a([n,n+1))=a_n.$ Así ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}_{a}dx$ converxe absolutamente, converxe condicionalmente ou diverxe segundo o comportamento correspondente de ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Serie harmónica.
• Constante de Apéry.

Modelo:Control de autoridades