Rng

En álxebra abstracta, un rng (ou anel non unitario ou pseudoanel) é unha estrutura alxébrica que satisfai as mesmas propiedades que un anel, mais sen asumir a existencia dunha identidade multiplicativa. O termo rng é para suxerir que é un anel sen i, é dicir, sen a necesidade dun elemento de identidade.Modelo:Sfnp

Non hai consenso na comunidade sobre se a existencia dunha identidade multiplicativa debe ser un dos axiomas de anel. O termo rng foi acuñado para aliviar esta ambigüidade cando as persoas queren referirse explicitamente a un anel sen o axioma da identidade multiplicativa.

Definición

Formalmente, un rng é un conxunto R con dúas operacións binarias Modelo:Nowrap chamadas adición e multiplicación tal que:

• (R,+) é un grupo abeliano.
• (R,·) é un semigrupo.
• A multiplicación é distributiva sobre a adición.

Un homomorfismo de rngs é unha función Modelo:Nowrap dun rng a outro tal que

• f(x + y) = f(x) + f(y),
• f(x · y) = f(x) · f(y)

para todos os x e y en R.

Se R e S son aneis, entón un homomorfismo de aneis Modelo:Nowrap é o mesmo que un homomorfismo de rng Modelo:Nowrap que mapea 1 a 1.

Exemplos

Todos os aneis son rngs. Un exemplo simple dun rng que non é un anel ven dado polos enteiros pares coa suma e multiplicación ordinaria de números enteiros.

Outro exemplo pode ser o conxunto de todos as matrices $3\times 3$ cuxa fila inferior é cero.

Ambos os exemplos son exemplos do feito xeral de que todo ideal é un rng.

Os rng adoitan aparecer con naturalidade na análise funcional cando consideramos os operadores lineares en espazos vectoriais de dimensión infinita. Tomemos por exemplo calquera espazo vectorial de dimensión infinita V e considere o conxunto de todos os operadores lineares Modelo:Nowrap con rango finito (é dicir, Modelo:Nowrap). Xunto coas operacións adición e composición, este é un rng, mais non un anel. Outro exemplo é o rng de todas as secuencias reais que converxen a 0, coas operacións de compoñentes a compoñente.

Exemplo: números enteiros pares

O conxunto 2Z de números enteiros pares está pechado baixo adición e multiplicación e ten unha identidade aditiva, 0, polo que é un rng, mais non ten unha identidade multiplicativa, polo que non é un anel.

En 2Z, o único multiplicativo idempotente é 0, o único nilpotente é 0.

Exemplo: secuencias finitas quinarias

A suma directa $𝒯={⨁}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}𝐙/5𝐙$ equipada con adición e multiplicación por coordenadas é un rng coas seguintes propiedades::

• Os seus elementos idempotentes forman unha retícula sen límite superior.
• Cada elemento x ten un inverso reflexivo, é dicir, un elemento y tal que Modelo:Nowrap e Modelo:Nowrap.
• Para cada subconxunto finito de $𝒯$, existe un idempotente en $𝒯$ que actúa como unha identidade para todo o subconxunto: a secuencia cun un en cada posición onde unha secuencia do subconxunto ten un elemento non cero nesa posición e cero en cada unha das outras posicións.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Anel (álxebra).

Ligazóns externas

• Qiaochu Yuan "Non-unital rings".