Logaritmo natural

Gráfica da función logaritmo natural. A función medra lentamente cara ao infinito positivo segundo Modelo:Mvar aumenta, e vai lentamente cara ao infinito negativo cando Modelo:Mvar aproxima a 0

O logaritmo natural ou logaritmo neperiano dun número é o seu logaritmo con base a constante matemática [[Número e|Modelo:Mvar]], que é un número irracional e transcendental aproximadamente igual a Modelo:Math. O logaritmo natural de Modelo:Mvar escríbese xeralmente como Modelo:Math, Modelo:Math, ou ás veces, se a base Modelo:Mvar está implícita, simplemente Modelo:Math. Ás veces engádense parénteses para claridade, dando Modelo:Math, Modelo:Math ou Modelo:Math. Isto faise especialmente cando o argumento do logaritmo non é un só símbolo, para evitar ambigüidades.

O logaritmo natural de Modelo:Mvar é a potencia á que habería que elevar Modelo:Mvar para igualar Modelo:Mvar. Por exemplo, Modelo:Math é Modelo:Math , porque Modelo:Math. O logaritmo natural de Modelo:Mvar, Modelo:Math, é Modelo:Math, porque Modelo:Math, mentres que o logaritmo natural de Modelo:Math é Modelo:Math, xa que Modelo:Math.

O logaritmo natural pódese definir para calquera número real positivo Modelo:Mvar como a área baixo a curva Modelo:Math de Modelo:Math a Modelo:Mvar (sendo a área negativa cando Modelo:Math ). A definición do logaritmo natural pódese ampliar daquela para dar valores de logaritmo para números negativos e para todos os números complexos distintos de cero, aínda que isto leva a unha función multivalor: ver logaritmo complexo para máis información.

A función logaritmo natural, se se considera como unha función con valores reais dunha variable real positiva, é a función inversa da función exponencial, dando lugar ás identidades: $$\begin{array}{cc}{e}^{\ln x}& =x\text{ if }x\in {ℝ}_{+}\\ \ln e^x& =x\text{ if }x\in ℝ\end{array}$$

Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapea a multiplicación de números positivos en suma: $$\ln (x\cdot y)=\ln x+\ln y.$$

Pódense definir logaritmos para calquera base positiva que non sexa 1, non só Modelo:Mvar. No entanto, os logaritmos noutras bases difiren só por un multiplicador constante do logaritmo natural, e pódense definir en termos deste último, ${\log }_{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot {\log }_{b}e$.

Os logaritmos son útiles para resolver ecuacións nas que a incógnita aparece como o expoñente dalgunha outra cantidade. Por exemplo, os logaritmos utilízanse para resolver a vida media, a constante de desintegración ou o tempo descoñecido en problemas de desintegración exponencial. Son importantes en moitas ramas das matemáticas e das disciplinas científicas, e úsanse para resolver problemas que impliquen xuro composto.

Definicións

O logaritmo natural pódese definir de varias maneiras equivalentes.

Inversa de exponencial

A definición máis xeral é como a función inversa de $e^x$, para que $e^{\ln (x)}=x$. Para os números complexos, $e^z$ non é invertíbel, polo tanto $\ln (z)$ é unha función multivalor. Para facer $\ln (z)$ unha función propia de saída única, polo tanto, necesitamos restrinxila a unha rama principal particular, a miúdo denotada por $\mathrm{Ln}(z)$.

Para os números complexos o logaritmo natural pode ter unha continuación analítica como $\ln (z)=ln|z|+i\arg (z)$ onde $|z|$ é o módulo do complexo e $\arg (z)$ é o argumento do complexo, por exemplo $\ln (3+4i)=1.6094+0.9273i$.

Definición como integral

Modelo:Math como a área da rexión sombreada baixo a curva Modelo:Math de Modelo:Math a Modelo:Mvar. Se Modelo:Mvar é menor que Modelo:Math, a área considerada é negativa.

A área baixo a hipérbole cumpre a regra do logaritmo. Aquí Modelo:Math denota a área baixo a hipérbole entre Modelo:Mvar e Modelo:Mvar.

O logaritmo natural dun número real positivo Modelo:Mvar pódese definir como a área baixo a gráfica da hipérbole coa ecuación Modelo:Math entre Modelo:Math e Modelo:Math. Esta é a integral $$\ln a=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx.$$Se Modelo:Mvar está dentro do intervalo $(0,1)$, entón a rexión ten área negativa e o logaritmo é negativo.

O logaritmo natural tamén ten unha representación integral impropia, que se pode derivar co teorema de Fubini do seguinte xeito: $$\ln \left(x\right)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{u}du=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-tu}dtdu=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{1}{\overset{x}{\int }}{e}^{-tu}dudt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}-e^{-tx}}{t}dt$$

Propiedades

O logaritmo natural ten as seguintes propiedades matemáticas:

• $\ln 1=0$
• $\ln e=1$
• $\ln (xy)=\ln x+\ln y\text{para }x>0\text{e }y>0$
• $\ln (x/y)=\ln x-\ln y\text{para }x>0\text{e }y>0$
• $\ln (x^y)=y\ln x\text{para }x>0$
• $\ln (\sqrt[y]{x})=(\ln x)/y\text{para }x>0\text{e }y\ne 0$
• $\ln x<\ln y\text{para }0<x<y$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• $\underset{\alpha \to 0}{\lim }\frac{x^{\alpha }-1}{\alpha }=\ln x\text{para }x>0$
• $\frac{x-1}{x}\le \ln x\le x-1\text{para }x>0$
• $\ln (1+x^{\alpha })\le \alpha x\text{para }x\ge 0\text{e }\alpha \ge 1$

Derivada

A derivada do logaritmo natural como función con valores reais sobre os reais positivos vén dada por $$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.$$

A maiores temos: $$\frac{d}{dx}\ln ax=\frac{d}{dx}(\ln a+\ln x)=\frac{d}{dx}\ln a+\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.$$

polo tanto, a diferenza da súa función inversa $e^{ax}$, unha constante na función logaritmo non altera o diferencial.

Serie

Os polinomios de Taylor para Modelo:Math só proporcionan aproximacións precisas no intervalo Modelo:Math. Máis aló dalgún Modelo:Math, os polinomios de Taylor de grao superior son aproximacións cada vez peores.

Como o logaritmo natural non está definido en 0, $\ln (x)$ en si non ten unha serie de Maclaurin, a diferenza de moitas outras funcións elementais. Mais temos expansións de Taylor arredor doutros puntos. Por exemplo, se $|x-1|\le 1\text{ and }x\ne 0,$ entón $$\begin{array}{cc}\ln x& =\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t}dt=\underset{0}{\overset{x-1}{\int }}\frac{1}{1+u}du\\ & =\underset{0}{\overset{x-1}{\int }}(1-u+u^2-u^3+\cdots )du\\ & =(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}-\frac{(x-1{)}^4}{4}+\cdots \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}(x-1{)}^k}{k}.\end{array}$$

Esta é a serie Taylor para $\ln x$ arredor de 1. Un cambio de variábeis produce a serie de Mercator: $$\ln (1+x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}{x}^k=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ,$$ válido para $|x|\le 1$ e $x\ne -1.$

Un caso especial útil para números enteiros positivos Modelo:Mvar, tomando $x=\frac{1}{n}$, é: $$\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k{n}^k}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}-\frac{1}{4n^4}+\cdots$$

O logaritmo natural tamén se pode expresar como un produto infinito: $$\ln (x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{2}{1+\sqrt[2^k]{x}}\right)$$

Dous exemplos poden ser: $$\ln (2)=\left(\frac{2}{1+\sqrt{2}}\right)\left(\frac{2}{1+\sqrt[4]{2}}\right)\left(\frac{2}{1+\sqrt[8]{2}}\right)\left(\frac{2}{1+\sqrt[16]{2}}\right)...$$

O logaritmo natural na integración

O logaritmo natural permite a integración sinxela de funcións da forma $g(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$; unha antiderivada de Modelo:Math vén dada por $\ln (|f(x)|)$. Este solución é debida á regra da cadea xunto coa derivada da función elemental $\ln |x|$: $$\frac{d}{dx}\ln \left|x\right|=\frac{1}{x},x\ne 0.$$

Noutras palabras, ao integrar sobre un intervalo da liña real que non inclúe $x=0$ temos $$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$ onde Modelo:Mvar é unha constante arbitraria de integración.

Por tanto, cando a integral está definida sobre un intervalo onde $f(x)\ne 0$ temos

$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C.$$

Por exemplo, considere a integral de $\tan (x)$ nun intervalo que non inclúe puntos onde $\tan (x)$ é infinito: $$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{\frac{d}{dx}\cos x}{\cos x}dx=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C.$$

O logaritmo natural pódese integrar mediante integración por partes: $$\int \ln xdx=x\ln x-x+C.$$

Sexa: $$u=\ln x\Rightarrow du=\frac{dx}{x}$$$$dv=dx\Rightarrow v=x$$ daquela: $$\begin{array}{cc}\int \ln xdx& =x\ln x-\int \frac{x}{x}dx\\ & =x\ln x-\int 1dx\\ & =x\ln x-x+C\end{array}$$

Logaritmo natural de 10

O logaritmo natural de 10, aproximadamente igual a Modelo:Math, xoga un papel importante, por exemplo, no cálculo de logaritmos naturais de números representados en notación científica, como unha mantisa multiplicada por unha potencia de 10: $$\ln (a\cdot 10^n)=\ln a+n\ln 10.$$

Isto significa que se poden calcular eficazmente os logaritmos de números con magnitude moi grande ou moi pequena usando os logaritmos dun conxunto relativamente pequeno de decimais no intervalo Modelo:Math.

Fraccións continuas

Aínda que non hai fraccións continuas simples dispoñíbeis, existen varias fraccións continuas xeneralizadas, incluíndo: $$\begin{array}{cc}\ln (1+x)& =\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\ & =\frac{x}{1-0x+\frac{1^{2}x}{2-1x+\frac{2^{2}x}{3-2x+\frac{3^{2}x}{4-3x+\frac{4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}\end{array}$$$$\begin{array}{cc}\ln (1+\frac{x}{y})& =\frac{x}{y+\frac{1x}{2+\frac{1x}{3y+\frac{2x}{2+\frac{2x}{5y+\frac{3x}{2+\ddots }}}}}}\\ & =\frac{2x}{2y+x-\frac{(1x{)}^2}{3(2y+x)-\frac{(2x{)}^2}{5(2y+x)-\frac{(3x{)}^2}{7(2y+x)-\ddots }}}}\end{array}$$

Estas fraccións continuas, especialmente a última, converxen rapidamente para valores próximos a 1. Porén, os logaritmos naturais de números moito maiores pódense calcular facilmente, sumando repetidamente os de números máis pequenos, cunha converxencia igualmente rápida.

Logaritmos complexos

Modelo:Artigo principal A función exponencial pódese estender a unha función que dá un número complexo como Modelo:Math para calquera número complexo arbitrario Modelo:Mvar; simplemente úsase a serie infinita con Modelo:Mvar=z complexo. Esta función exponencial pódese inverter para formar un logaritmo complexo que presenta a maioría das propiedades do logaritmo ordinario. Hai dúas dificultades implicadas:

• ningún Modelo:Mvar ten Modelo:Math;
• resulta que Modelo:Math e dado que a propiedade multiplicativa aínda funciona para a función exponencial complexa, Modelo:Math, temos o mesmo valor para múltiples expoñentes, calquera complexo Modelo:Mvar cos múltiples enteiros Modelo:Mvar.

Polo tanto temos dúas consecuencias: o logaritmo non se pode definir para todo o plano complexo, e por outra parte aínda así é multivaluada, isto é, calquera logaritmo complexo pode mudarse a un logaritmo "equivalente" engadindo calquera múltiplo enteiro de Modelo:Math. O logaritmo complexo só se pode valorar nun plano de corte, que normalmente corresponde con

$k=0$

. Por exemplo,

$\ln (i)=\frac{\pi i}{2}.$

• Gráficos da función de logaritmo natural no plano complexo (rama principal)
• 
  Modelo:Math
• 
  Modelo:Math
• 
  Modelo:Math
• 
  Superposición das tres gráficas anteriores

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Polilogaritmo.
• Logaritmo

Ligazóns externas

• Logaritmo natural en MathWorld.

Modelo:Control de autoridades