Inmersión (matemáticas)

En matemáticas, unha inmersión é unha función diferenciable entre variedades diferenciables cuxo pulo diferencial é inxectivo en tódalas partes.^[1] Explicitamente, Modelo:Math é unha inmersión se

D_{p} f : T_{p} M \to T_{f (p)} N

é unha función inxectiva en cada punto Modelo:Mvar de Modelo:Mvar (onde Modelo:Mvar denota o espazo tanxente dunha variedade Modelo:Mvar nun punto Modelo:Mvar en Modelo:Mvar ). De forma equivalente, Modelo:Mvar é unha inmersión se a súa derivada ten rango constante igual á dimensión de Modelo:Mvar : ^[2]

rank D_{p} f = \dim M .

A propia función Modelo:Mvar non ten por que ser inxectiva, só debe selo a súa derivada.

Un concepto relacionado é o de mergullo. Un mergullo suave é unha inmersión inxectiva Modelo:Math que tamén é unha mergullo topolóxico, polo que Modelo:Mvar é difeomorfo á súa imaxe en Modelo:Mvar. Unha inmersión é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto Modelo:Math hai unha veciñanza, Modelo:Math, de Modelo:Mvar tal que Modelo:Math é un mergullo e, pola contra, un mergullo local é unha inmersión. ^[3] Para variedades de dimensións infinitas, ás veces considérase que esta é a definición dunha inmersión. ^[4]

Se Modelo:Mvar é compacta, unha inmersión inxectiva é un mergullo, mais se Modelo:Mvar non é compacto, as inmersións inxectivas non teñen por que ser mergullos; compare con bixeccións continuas versus homeomorfismos.

Homotopía regular

Unha homotopía regular entre dúas inmersións Modelo:Mvar e Modelo:Mvar dunha variedade Modelo:Mvar cara unha variedade Modelo:Mvar defínese como unha función diferenciable Modelo:Math tal que para todo Modelo:Mvar en Modelo:Math a función Modelo:Math definida por Modelo:Math para todo Modelo:Math é unha inmersión, con Modelo:Math, Modelo:Math. Unha homotopía regular é, polo tanto, unha homotopía mediante inmersións.

Clasificación

Hassler Whitney iniciou o estudo sistemático das inmersións e das homotopías regulares na década de 1940, demostrando que para Modelo:Math todo mapa Modelo:Math dunha variedade Modelo:Mvar-dimensional cara unha variedade Modelo:Mvar-dimensional é homotópico a unha inmersión, e de feito a un mergullo para Modelo:Math; estes son o teorema de inmersión de Whitney e o teorema do mergullo de Whitney.

Stephen Smale expresou as clases de homotopías regulares de inmersións Modelo:Tmath como os grupos de homotopía dunha determinada variedade de Stiefel. A eversión da esfera foi unha consecuencia especialmente rechamante.

Morris Hirsch xeneralizou a expresión de Smale nunha descrición na teoría da homotopía das clases regulares de inmersións de homotopía de calquera variedade Modelo:Mvar-dimensional Modelo:Mvar en calquera variedade Modelo:Mvar-dimensional Modelo:Mvar.

A clasificación de inmersións de Hirsch-Smale foi xeneralizada por Mikhail Gromov.

Existencia

A obstrución principal á existencia dunha inmersión Modelo:Tmath é o fibrado normal estable de Modelo:Mvar, tal e como detectan as súas clases características, especialmente as súas Clase de Stiefel-Whitney. É dicir, xa que Modelo:Tmath é paralelizable, a regresión do seu fibrado tanxente a Modelo:Mvar é trivial; xa que esta regresión é a suma directa do fibrado tanxente (definido intrínsecamente) sobre Modelo:Mvar, Modelo:Mvar, que ten dimensión Modelo:Mvar, e do fibrado normal Modelo:Mvar da inmersión Modelo:Mvar, que ten dimensión Modelo:Math, para que exista unha codimensión Modelo:Mvar inmersión de Modelo:Mvar, debe haber un fibrado vectorial de dimensión Modelo:Mvar, Modelo:Mvar, substituíndo ao feibrado normal Modelo:Mvar, tal que Modelo:Tmath é trivial. Pola contra, dado un fibrado deste tipo, unha inmersión de Modelo:Mvar con este fibrado normal equivale a unha inmersión de codimensión 0 do espazo total deste fibrado, que é unha variedade aberta.

Codimensión 0

As inmersións de codimensión 0 son equivalentemente submersións de dimensión relativa 0, e pódense pensar mellor como submersións. Unha inmersión de codimensión 0 dunha variedade pechada é precisamente un mapa de cobertura, é dicir, un fibrado con fibra (discreta) de dimensión 0. Segundo o teorema de Ehresmann e o teorema de Phillips sobre as submersións, unha submersión propia de variedades é un fibrado, polo que as inmersións/submersións de codimensión/dimensión relativa 0 compórtanse como submersións.

Puntos múltiples

Un punto Modelo:Mvar-tupla (duplo, triplo, etc.) dunha inmersión Modelo:Math é un conxunto non ordenado Modelo:Math} de distintos puntos Modelo:Math coa mesma imaxe Modelo:Math. Se Modelo:Mvar é unha variedade Modelo:Mvar-dimensional e Modelo:Mvar é unha variedade n-dimensional daquela para unha inmersión Modelo:Math en posición xeral o conxunto de puntos das Modelo:Mvar-tuplas é unha variedade Modelo:Math-dimensional. Todo mergullo é unha inmersión sen múltiples puntos (onde Modelo:Math). Teña en conta, porén, que a inversa é falsa: hai inmersións inxectivas que non son mergullos.

A natureza dos puntos múltiples clasifica as inmersións; por exemplo, as inmersións dun círculo no plano clasifícanse ata a homotopía regular polo número de puntos duplos.

Exemplos e propiedades

Unha rosa matemática con Modelo:Mvar pétalos é unha inmersión do círculo no plano cun único punto Modelo:Mvar-tupla; Modelo:Mvar pode ser calquera número impar, mais se é par debe ser múltiplo de 4, polo que a cifra 8, con Modelo:Math, non é unha rosa.
A botella de Klein, e todas as demais superficies pechadas non orientables, poden ser inmersas en 3-espazos mais non mergulladas.
Polo teorema de Whitney-Graustein, as clases de homotopía regular de inmersións do círculo no plano clasifícanse polo índice, que tamén é o número de puntos duplos contados alxebricamente (é dicir, con signos).
A eversión da esfera (esfera revirada cara a fóra): o mergullo estándar Modelo:Tmath está relacionado con $f_{1} = - f_{0} : 𝕊^{2} \to ℝ^{3}$ por unha homotopía regular de inmersións Modelo:Tmath
A superficie de Boy é unha inmersión do plano proxectivo real no 3-espazo; e tamén unha inmersión 2 a 1 da esfera.
A superficie de Morin é unha inmersión da esfera; tanto ela como a superficie de Boy xorden como modelos intermedios na eversión da esfera.

Curvas planas inmersas

As curvas planas inmersas teñen un índice de voltas ben definido, que se pode definir como a curvatura total dividida por 2Modelo:Pi. Este valor é invariante baixo a homotopía regular polo teorema de Whitney-Graustein; topoloxicamente, é o grao do mapa de Gauss, ou equivalentemente, o índice da curva da tanxente unitaria (que non desaparece) sobre a orixe. Alén diso, son un conxunto completo de invariantes: dúas curvas planas calquera co mesmo índice topolóxico son homotópicas regulares.

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Mergullo (matemáticas).

Ligazóns externas

Immersion no Manifold Atlas
Immersion of a manifold na Encyclopedia of Mathematics

Modelo:Control de autoridades

↑ Esta definición está dada por Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses.
↑ Esta definición está dada por Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses.
↑ Esta definición, baseada en difeomorfismos locais está dada por Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses.
↑ Este tipo de definición para infinitas dimensións está dada por Modelo:Cita Harvard sen parénteses.

[1] Esta definición está dada por Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses.

[2] Esta definición está dada por Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses.

[3] Esta definición, baseada en difeomorfismos locais está dada por Modelo:Cita Harvard sen parénteses, Modelo:Cita Harvard sen parénteses.

[4] Este tipo de definición para infinitas dimensións está dada por Modelo:Cita Harvard sen parénteses.

[1]

[2]

[3]

[4]

Inmersión (matemáticas)

Índice

Homotopía regular