Conxunto completo de invariantes

En matemáticas, un conxunto completo de invariantes para un problema de clasificación é unha colección de mapas

$f_i:X\to Y_i$

(onde $X$ é a colección de obxectos que se clasifican, ata algunha relación de equivalencia $\sim$, e os $Y_i$ son algúns conxuntos), tal que $x\sim x^{\prime }$ se e só se $f_i(x)=f_i(x^{\prime })$ para todos os $i$. En palabras, tal que dous obxectos son equivalentes se e só se todas as invariantes son iguais.

Simbólicamente, un conxunto completo de invariantes é unha colección de mapas tal que

$(\prod f_i):(X/\sim )\to (\prod Y_i)$

é inxectiva.

Como as invariantes son, por definición, iguais en obxectos equivalentes, a igualdade de invariantes é unha condición necesaria para a equivalencia; un conxunto completo de invariantes é un conxunto tal que a igualdade destes tamén é suficiente para a equivalencia. No contexto dunha acción de grupo, isto pódese afirmar como: as invariantes son funcións das coinvariantes (clases de equivalencia, órbitas) e un conxunto completo de invariantes caracteriza as coinvariantes (é un conxunto de ecuacións que definen as coinvariantes).

Exemplos

• Na clasificación das variedades pechadas bidimensionais, a característica de Euler (ou genus) e a orientabilidade son un conxunto completo de invariantes.
• A forma normal dunha matriz de Jordan é unha invariante completa para as matrices ata a conxugación, pero eigenvalores (con multiplicidades) non o son.

Realizabilidade de invariantes

Un conxunto completo de invariantes non produce inmediatamente un teorema de clasificación: non todas as combinacións de invariantes poden realizarse. Simbólicamente, tamén hai que determinar a imaxe de

$\prod f_i:X\to \prod Y_i.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Invariante.
• Función inxectiva
• Até (matemáticas)

Modelo:Control de autoridades