Unión (conxuntos)

Unión de dous conxuntos:
$A\cup B$

Unión de tres conxuntos:
$A\cup B\cup C$

A unión de A, B, C, D e E é todo agás a área branca.

Na teoría de conxuntos, a unión dunha colección de conxuntos (denotada por ∪) é o conxunto de todos os elementos da colección. É unha das operacións fundamentais mediante as que se poden combinar e relacionar conxuntos entre si. Unha unión nula refírese a unha unión de [[Cero|cero (Modelo:Tmath)]] conxuntos e é por definición igual ao conxunto baleiro.

Para a explicación dos símbolos utilizados neste artigo, consulte a táboa de símbolos matemáticos.

Unión de dous conxuntos

A unión de dous conxuntos A e B é o conxunto de elementos que están en A, en B ou en A e B.

$A\cup B=\{x:x\in A\text{ ou }x\in B\}$.

Vemos un exemplo, se A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 2, 4, 6, 7} entón A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un exemplo con dous conxuntos infinitos pode ser:

A = Modelo:Mset

B = Modelo:Mset

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}$

Un exemplo dun elemento non incluído na unión, o número 9 non está contido na unión do conxunto de números primos Modelo:Mset e do conxunto de números pares Modelo:Mset, porque 9 non é nin primo nin par.

Os conxuntos non poden ter elementos duplicados, polo tanto a unión dos conxuntos Modelo:Mset e Modelo:Mset é Modelo:Mset. As aparicións múltiples de elementos idénticos non teñen ningún efecto sobre a cardinalidade dun conxunto ou o seu contido.

Propiedades alxébricas

A unión binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto Modelo:Tmath,$$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.$$Así, as parénteses pódense omitir sen ambigüidades: calquera das anteriores pódese escribir como Modelo:Tmath. Ademais, a unión é conmutativa, polo que os conxuntos poden escribirse en calquera orde. O conxunto baleiro é un elemento identidade para o funcionamento da unión. É dicir, Modelo:Tmath, para calquera conxunto Modelo:Tmath. Ademais, a operación de unión é idempotente: Modelo:Tmath.

A intersección é distributiva coa unión$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$a unión é distributiva coa intersección $$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$$O conxunto de partes dun conxunto Modelo:Tmath, xunto coas operacións dadas pola unión, intersección e complemento, é unha álxebra de Boole. Nesta álxebra de Boole, a unión pódese expresar en termos de intersección e complementario pola fórmula$$A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement }{)}^{\complement },$$onde o superíndice ${}^{\complement }$ significa o complemento no conxunto universal Modelo:Tmath.

Unións finitas

Unha unión finita é a unión dun número finito de conxuntos; a frase non implica que o conxunto de unión sexa un conxunto finito.

Unións arbitrarias

A noción máis xeral é a unión dunha colección arbitraria de conxuntos. Se M é un conxunto ou clase cuxos elementos son conxuntos, entón x é un elemento da unión de M se e só se hai polo menos un elemento A de M tal que x é un elemento de A. En símbolos:

$x\in \bigcup 𝐌⟺\mathrm{\exists }A\in 𝐌,x\in A.$

Notacións

A notación para o concepto xeral pode variar considerablemente. Para unha unión finita de conxuntos $S_1,S_2,S_3,\dots ,S_n$ pódese escribir como $S_1\cup S_2\cup S_3\cup \dots \cup S_n$ ou ${\bigcup }_{i=1}^n{S}_i$ . As unións arbitrarias teñen varias notacións similares: $\bigcup 𝐌$, $\bigcup _{A\in 𝐌}A$, e $\bigcup _{i\in I}{A}_i$. A última destas notacións refírese á unión da colección $\{A_i:i\in I\}$, onde I é un conxunto de índices e $A_i$ é un conxunto para todos eses índices Modelo:Tmath. No caso de que o conxunto índice I sexa o conxunto de números naturais, utilízase a notación ${\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$, que é análogo ao das sumas infinitas en serie.

Véxase tamén

Outros artigos

• Intersección.
• Complementario (conxuntos).
• Álxebra de conxuntos.

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.