Matriz cadrada

Unha matriz cadrada de orde 4. As entradas $a_{ii}$ forma a diagonal principal dunha matriz cadrada. Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4×4 anterior contén os elementos Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math .

En matemáticas, unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas e columnas. Chamamos matriz n-por-n a unha matriz cadrada de orde Modelo:Nowrap Pódense sumar e multiplicar dúas matrices cadradas calquera da mesma orde.

As matrices cadradas utilízanse a miúdo para representar transformacións lineares simples, como a rotación. Por exemplo, se $R$ é unha matriz cadrada que representa unha rotación (matriz de rotación) e $𝐯$ é un vector columna que describe a posición dun punto no espazo, o produto $R𝐯$ produce outro vector columna que describe a posición dese punto despois desa rotación. Se $𝐯$ é un vector fila, a mesma transformación pódese obter usando Modelo:Nowrap onde $R^{𝖳}$ é a transposta de Modelo:Nowrap

Diagonal principal

As entradas $a_{ii}$ ( Modelo:Math ) forman a diagonal principal dunha matriz cadrada. Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4×4 da imaxe contén os elementos Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math.

A diagonal dunha matriz cadrada desde a esquina superior dereita ata a esquina inferior esquerda chámase antidiagonal ou contradiagonal.

Tipos especiais

Matriz diagonal, triangular e identidade

Nome	Exemplo con n = 3
Matriz diagonal	$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ 0& a_{22}& 0\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right]$
Matriz triangular inferior	$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& 0\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$
Matriz triangular superior	$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right]$
Matriz identidade	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

O termo matriz identidade refírese á propiedade da multiplicación matricial que$$I_{m}A=A{I}_n=A$$para calquera matriz Modelo:Nowrap de dimensións $m\times n$.

Matriz invertible e a súa inversa

Unha matriz cadrada $A$ chámase invertible ou non singular seModelo:Sfn.Modelo:Sfn existe unha matriz $B$ tal que $$AB=BA=I_n$$Se $B$ existe, é única e chámase matriz inversa de Modelo:Nowrap denotado Modelo:Nowrap

Matriz simétrica ou antisimétrica

Unha matriz cadrada $A$ que é igual á súa transposición, é dicir, Modelo:Nowrap é unha matriz simétrica. Se en cambio Modelo:Nowrap entón $A$ chámase matriz antisimétrica.

Para unha matriz cadrada complexa Modelo:Nowrap moitas veces o análogo axeitado da transposición é a transposta conxugada Modelo:Nowrap definido como a transposición do conxugado complexo de Modelo:Nowrap Unha matriz cadrada complexa $A$ que satisfai $A^{*}=A$ chámase matriz hermitiana. Se temos Modelo:Nowrap entón $A$ chámase matriz antisimétrica hermitiana.

Segundo o teorema espectral, as matrices reais simétricas (ou complexas hermitianas) teñen unha base propia ortogonal (ou unitaria); é dicir, cada vector é expresable como unha combinación linear de vectores propios (eigenvectores). En ambos os casos, todos os valores propios (eigenvalores) son reais.

Matriz ortogonal

Unha matriz ortogonal é unha matriz cadrada onde a súa transposta é igual á súa inversa:$$A^{\mathsf{\text{T}}}=A^{-1},$$que implica$$A^{\mathsf{\text{T}}}A=A{A}^{\mathsf{\text{T}}}=I,$$onde I é a matriz identidade.

Unha matriz ortogonal Modelo:Mvar é necesariamente invertible (con inverso Modelo:Math), unitaria (Modelo:Math) e normal (Modelo:Math). O determinante de calquera matriz ortogonal é +1 ou -1. O grupo ortogonal especial $\mathrm{SO}(n)$ consta das matrices Modelo:Math ortogonais co determinante +1.

O análogo complexo dunha matriz ortogonal é unha matriz unitaria.

Matriz normal

Unha matriz cadrada real ou complexa $A$ chámase normal se Modelo:Nowrap. Se unha matriz cadrada real é simétrica, antisimétrica ou ortogonal, entón é normal. Se unha matriz cadrada complexa é hermitiana, hermitiana antisimétrica ou unitaria, entón é normal.

Operacións

Traza

A traza, tr( A ) dunha matriz cadrada A é a suma das súas entradas diagonais. Aínda que a multiplicación de matrices non é conmutativa, a traza do produto de dúas matrices si é conmutativa:$$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA).$$Ademais, a traza dunha matriz é igual ao da súa transposición, é dicir,$$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}}).$$

Determinante

Unha transformación linear ${ℝ}^2$ dada pola matriz que se mostra. O determinante desta matriz é −1, o mapa inverte a orientación.

O determinante $|A|$ ou $\det (A)$ dunha matriz cadrada $A$ é un número que contén certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. O seu valor absoluto é igual á área (en ${ℝ}^2$) ou volume (en ${ℝ}^3$) da imaxe do cadrado (ou cubo) da unidade, mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O determinante das matrices 2×2 vén dado por$$\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc.$$O determinante das matrices 3×3 implica 6 termos (regra de Sarrus). A fórmula de Leibniz xeneraliza estas dúas fórmulas a todas as dimensións.Modelo:Sfn

O determinante dun produto de matrices cadradas é igual ao produto dos seus determinantes, temos: $$\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$$Finalmente, a expansión de Laplace expresa o determinante en termos de menores, é dicir, determinantes de matrices máis pequenas. Os determinantes pódense usar para resolver sistemas lineares usando a regra de Cramer, onde a división dos determinantes de dúas matrices cadradas relacionadas equivale ao valor de cada unha das variables do sistema.

Eigenvalores e eigenvectores

Modelo:Artigo principal Un número Modelo:Mvar e un vector distinto de cero $𝐯$ que satisfai$$A𝐯=\lambda 𝐯$$chámanse eigenvalores e eigenvectores de Modelo:Nowrap respectivamente. O número Modelo:Mvar é un eigenvalor dunha matriz Modelo:Math Modelo:Mvar se e só se Modelo:Math non é invertible, o que é equivalente a $$\det (A-\lambda I)=0.$$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Matriz (matemáticas)