Produto de Kronecker

O produto de Kronecker, denotado con ($\otimes$) é unha operación entre dúas matrices dun tamaño arbitrario que da como resultado unha matriz bloque. É un caso especial do produto tensorial. O produto de Kronecker non debe ser confundido co produto de matrices común, que é unha operación totalmente diferente.

Definición

Se A é unha matriz de dimensións m$\times$n e B é unha matriz de dimensións p$\times$q, entón o produto de Kronecker A $\otimes$ B é a matriz bloque mp$\times$nq

$A\otimes B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right)$

Máis explicitamente,

$A\otimes B=\left(\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right)$

Exemplos

$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 3\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\\ 1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 0\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 0\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\\ 1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0& 5& 0& 15& 0& 10\\ 5& 0& 15& 0& 10& 0\\ 1& 1& 3& 3& 2& 2\\ 0& 5& 0& 0& 0& 0\\ 5& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 10& 0& 10\\ 5& 0& 10& 0& 10& 0\\ 1& 1& 2& 2& 2& 2\end{array}\right)$

Propiedades

Bilinearidade e asociatividade

O produto de Kronecker é un caso especial do produto tensorial, e polo tanto, é bilinear e asociativo:

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C$ se B e C teñen as mesmas dimensións,

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$ se A e B teñen as mesmas dimensións,

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),$

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),$

onde A, B e C son matrices e onde k é un escalar.

O produto de Kronecker non é commutativo: En xeral, A$\otimes$B e B$\otimes$A son matrices diferentes. Porén, A$\otimes$B e B$\otimes$A son intercambios equivalentes, o que quere dicir que hai matrices de permutación P e Q tales que $A\otimes B=P(B\otimes A)Q.$