Pentación

Os primeiros tres valores da expresión x[5]2. O valor de 3[5]2 é ao redor de 7.626 × 10¹²; os resultados para valores de x maiores son demasiado grandes para aparecer na gráfica.

En matemáticas, a pentación é a hiperoperación que lle segue á tetración e é anterior á hexación. Defínese como a iteración (repetición) de tetracións, tal e como a tetración é a iteración da potenciación. É unha operación binaria definida con dous números a e b, onde a é «tetrado» a si mesmo b veces. Por exemplo, empregando a notación de hiperoperación para a pentación e tetración, $2[5]3$ quere dicir «tetrar» 2 a si mesmo 3 veces, ou $2[4](2[4]2)$. Isto pódese reducir a $2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65536.$

Etimoloxía

A palabra «pentación» foi acuñada por Reuben Goodstein en 1947 das raíces penta- (cinco) e iteración. É parte do esquema xeral para nomear as hiperoperacións.

Notación

Non existe un consenso xeral para a notación da pentación; polo tanto existen varias maneiras de escribir a operación. Unhas úsanse máis que outras e existen distintas vantaxes entre unha e outra forma de uso.

• A pentación pódese escribir como unha hiperoperación como $a[5]b$. Neste formato, $a[3]b$ pode ser interpretado como o resultado de aplicar repetidamente a función $x\mapsto a[2]x$, por $b$ repeticións, comezando co número 1. De forma análoga, $a[4]b$, a tetración, representa o valor obtido ao aplicar repetidamente a función $x\mapsto a[3]x$, por $b$ repeticións, comezando co número 1, e a pentación $a[5]b$ representa o valor obtido ao aplicar repetidamente a función $x\mapsto a[4]x$, por $b$ repeticións, comezando co número 1. Esta será a notación usada no resto do artigo
• Na notación frecha de Knuth, $a[5]b$ represéntase como $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ ou $a{\uparrow }^{3}b$. Nesta notación, $a\uparrow b$ representa á función potenciación $a^b$ e $a\uparrow \uparrow b$ representa á tetración. A operación pódese adaptar facilmente a hexación engadindo outra frecha.
• Na notación de cadea de Conway, $a[5]b=a\to b\to 3$.
• Outra notación proposta é ${}_{b}a$, aínda que esta non é extensible a hiperoperacións de maior orde.

Exemplos

Os valores da función de pentación tamén poden ser obtidos dos valores na cuarta fila de valores nunha variante da función de Ackermann: se $A(n,m)$ defínese como a recorrencia de Ackermann $A(m-1,A(m,n-1))$ coas condicións iniciais $A(1,n)=an$ e $A(m,1)=a$, entón $a[5]b=A(4,b)$.

Como a tetración, a súa operación base, non se estende a alturas non enteiras, a pentación $a[5]b$ actualmente só está ben definida para valores enteiros de a e b onde $a>0$ e $b\ge -1$, e uns poucos valores enteiros adicionais que poderían estar unicamente definidos. Como todas as hiperoperacións de orde 3 e maior, a pentación ten os seguintes casos triviais (identidades) que son verdadeiros para todos os valores de a e b no seu dominio:

• $1[5]b=1$
• $a[5]1=a$

Adicionalmente, pódense definir:

• $a[5]0=1$
• $a[5](-1)=0$

Ademais dos casos triviais arriba expostos, a pentación xera números extremadamente grandes moi rápidamente tal que só hai uns poucos casos non-triviais que producen números que poden ser escritos na notación convencional, como se mostra a continuación:

• $2[5]2=2[4]2=2^2=4$
• $2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65,536$
• $2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}$
• (unha torre de 65536 expoñentes de altura)
• $3[5]2=3[4]3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$
• $3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7.625.597.484.987=3^{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}$
• (unha torre de 7.625.597.484.987 expoñentes de altura)
• $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^4}}=4^{4^{256}}\approx {\exp }_{10}^3(2.19)$ (un número con máis de $10^{153}$ díxitos)
• $5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^5}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx {\exp }_{10}^4(3.33928)$ (un número con máis de $10^{10^{2184}}$ díxitos)

Véxase tamén

Outros artigos

• Función de Ackermann
• Operadores de Bowers
• Número de Graham