Sedenión

Na álxebra abstracta, os sedenións forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula, Modelo:Math ou $𝕊$.

Os sedenións obtéñense aplicando a construción de Cayley-Dickson aos octonións, que se poden expresar matematicamente como $𝕊=𝒞𝒟(𝕆,1)$. Polo tanto, os octonións son isomorfos a unha subálxebra dos sedenións. A diferenza dos octonions, os sedenions non son unha álxebra alternativa.

Aritmética

Unha visualización dunha extensión 4D do octonión cúbico que mostra as 35 tríadas como hiperplanos a través do vértice real $(e_0)$ do exemplo de sedenión dado

Cada sedenión é unha combinación linear dos sedenións unitarios $e_0$, $e_1$, $e_2$, $e_3$ ,... , $e_{15}$, que forman unha base do espazo vectorial dos sedenións. Cada sedenión pódese representar na forma

$x=x_0{e}_0+x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_{14}{e}_{14}+x_{15}{e}_{15}.$

A suma e a resta defínense pola suma e resta dos coeficientes correspondentes e a multiplicación é distributiva sobre a suma.

Multiplicación

Do mesmo xeito que os octonións, a multiplicación de sedenións non é nin conmutativa nin asociativa. No entanto, a diferenza dos octonións, os sedenións nin sequera teñen a propiedade de ser alternativos. No entanto, teñen a propiedade da asociatividade da potencia, que se pode definir así, para calquera elemento $x$ de $𝕊$, a potencia $x^n$ está ben definida. Tamén son unha álxebra flexíbel.

Os sedenións teñen un elemento de identidade multiplicativo $e_0$ e inversos multiplicativos, mais non son unha álxebra de división porque teñen divisores de cero: pódense multiplicar dous sedenións distintos de cero para obter cero, por exemplo $(e_3+e_{10})(e_6-e_{15})$. Todos os sistemas numéricos hipercomplexos despois dos sedenións que se basean na construción de Cayley-Dickson tamén conteñen divisores de cero.

A táboa de multiplicación dos sedenións móstrase a continuación:

$e_i{e}_j$		$e_j$
		$e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$	$e_8$	$e_9$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$
$e_i$	$e_0$	$e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$	$e_8$	$e_9$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$
	$e_1$	$e_1$	$-e_0$	$e_3$	$-e_2$	$e_5$	$-e_4$	$-e_7$	$e_6$	$e_9$	$-e_8$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$
	$e_2$	$e_2$	$-e_3$	$-e_0$	$e_1$	$e_6$	$e_7$	$-e_4$	$-e_5$	$e_{10}$	$e_{11}$	$-e_8$	$-e_9$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$e_{12}$	$e_{13}$
	$e_3$	$e_3$	$e_2$	$-e_1$	$-e_0$	$e_7$	$-e_6$	$e_5$	$-e_4$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$e_9$	$-e_8$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$e_{12}$
	$e_4$	$e_4$	$-e_5$	$-e_6$	$-e_7$	$-e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$-e_8$	$-e_9$	$-e_{10}$	$-e_{11}$
	$e_5$	$e_5$	$e_4$	$-e_7$	$e_6$	$-e_1$	$-e_0$	$-e_3$	$e_2$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$e_9$	$-e_8$	$e_{11}$	$-e_{10}$
	$e_6$	$e_6$	$e_7$	$e_4$	$-e_5$	$-e_2$	$e_3$	$-e_0$	$-e_1$	$e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{12}$	$e_{13}$	$e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_8$	$e_9$
	$e_7$	$e_7$	$-e_6$	$e_5$	$e_4$	$-e_3$	$-e_2$	$e_1$	$-e_0$	$e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{11}$	$e_{10}$	$-e_9$	$-e_8$
	$e_8$	$e_8$	$-e_9$	$-e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_{12}$	$-e_{13}$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$
	$e_9$	$e_9$	$e_8$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$-e_1$	$-e_0$	$-e_3$	$e_2$	$-e_5$	$e_4$	$e_7$	$-e_6$
	$e_{10}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_8$	$-e_9$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$-e_2$	$e_3$	$-e_0$	$-e_1$	$-e_6$	$-e_7$	$e_4$	$e_5$
	$e_{11}$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$e_9$	$e_8$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$-e_3$	$-e_2$	$e_1$	$-e_0$	$-e_7$	$e_6$	$-e_5$	$e_4$
	$e_{12}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$e_8$	$-e_9$	$-e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$	$-e_0$	$-e_1$	$-e_2$	$-e_3$
	$e_{13}$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$e_9$	$e_8$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$-e_5$	$-e_4$	$e_7$	$-e_6$	$e_1$	$-e_0$	$e_3$	$-e_2$
	$e_{14}$	$e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{12}$	$e_{13}$	$e_{10}$	$-e_{11}$	$e_8$	$e_9$	$-e_6$	$-e_7$	$-e_4$	$e_5$	$e_2$	$-e_3$	$-e_0$	$e_1$
	$e_{15}$	$e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{11}$	$e_{10}$	$-e_9$	$e_8$	$-e_7$	$e_6$	$-e_5$	$-e_4$	$e_3$	$e_2$	$-e_1$	$-e_0$

Propiedades dos sedenións

Na táboa anterior podemos ver que:

$e_0{e}_i=e_i{e}_0=e_i\text{for all}i,$

$e_i{e}_i=-e_0\text{for}i\ne 0,$ e

$e_i{e}_j=-e_j{e}_i\text{for}i\ne j\text{with}i,j\ne 0.$

Antiasociativa

Os sedenións non son totalmente antiasociativos. Escollemos catro xeradores calquera, $i,j,k$ e $l$. O seguinte ciclo de 5 mostra que estas cinco relacións non poden ser todas antiasociativas.

$$(ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl)=0$$

En particular, na táboa anterior, usando $e_1,e_2,e_4$ e $e_8$ a última expresión asocia. $(e_1{e}_2)e_{12}=e_1(e_2{e}_{12})=-e_{15}$

Aplicacións

Modelo:Harvtxt mostrou que o espazo de pares de sedenións norma un que se multiplican dando cero é homeomorfo á forma compacta do Grupo de Lie excepcional G₂. (Teña en conta que no seu artigo, un "divisor de cero" significa un "par" de elementos que se multiplican dando cero.)

Modelo:Harvtxt demostraron que as tres xeracións de leptóns e quarks que están asociados coa simetría de gauge ininterrompida $\mathrm{S}\mathrm{U}\mathrm{(}\mathrm{3}{\mathrm{)}}_{\mathrm{c}}\mathrm{\times }\mathrm{U}\mathrm{(}\mathrm{1}{\mathrm{)}}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}$ pódese representar usando a álxebra dos sedenións complexos $ℂ\mathbb{\otimes }𝕊$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions, Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988)
• Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results, Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
• K. Imaeda et M. Imaeda, Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)

Outros artigos

• Identidade dos dezaseis cadrados de Pfister
• Número complexo hiperbólico
• PG(3,2)

Ligazóns externas

• Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Part III(2006) Modelo:Webarchive.

Modelo:Control de autoridades