Posición (xeometría)

O vector de raio $\overrightarrow{r}$ representa a posición dun punto $\mathrm{P}(x,y,z)$ en relación á orixe O. No sistema de coordenadas cartesianas $\overrightarrow{r}=x{\hat{e}}_x+y{\hat{e}}_y+z{\hat{e}}_z.$

En xeometría, unha posición ou vector de posición, é un vector euclidiano que representa un punto P no espazo. A súa lonxitude representa a distancia en relación a unha orixe de referencia arbitraria O, e a súa dirección representa a orientación angular con respecto a eixes de referencia dados. Normalmente denotado por x, r ou s, corresponde ao segmento de recta de O a P. Noutras palabras, é o desprazamento que asigna a orixe a P:

$𝐫=\overrightarrow{OP}.$

O termo vector de posición úsase principalmente nos campos da xeometría diferencial, mecánica e ocasionalmente cálculo vectorial.

Posición relativa

A posición relativa dun punto Q con respecto ao punto P é o vector euclidiano resultante da resta dos dous vectores de posición absoluta (cada un respecto á orixe):

$\mathrm{\Delta }𝐫=𝐬-𝐫=\overrightarrow{PQ},$

onde $𝐬=\overrightarrow{OQ}$.

A dirección relativa entre dous puntos é a súa posición relativa normalizada como un vector unitario:

$\mathrm{\Delta }\widehat{𝐫}=\mathrm{\Delta }𝐫/\Vert \mathrm{\Delta }𝐫\Vert ,$

onde o denominador é a distancia entre os dous puntos, $\Vert \mathrm{\Delta }𝐫\Vert$. Unha dirección relativa é un vector ligado, en contraste cunha dirección ordinaria, que é un vector libre.

Definición e representación

En tres dimensións

Curva espacial en 3D. O vector de posición r está parametrizado por un escalar t. En r = a a liña vermella é a tanxente á curva e o plano azul é normal á curva.

En tres dimensións, pódese usar calquera conxunto de coordenadas tridimensionais e os seus correspondentes vectores de base para definir a localización dun punto no espazo; pódese utilizar o que sexa o máis sinxelo para a tarefa que se está a realizar.

Comunmente, úsase o sistema de coordenadas cartesiano, ou ás veces coordenadas polares esféricas ou coordenadas cilíndricas:

$\begin{array}{cc}𝐫(t)& \equiv 𝐫(x,y,z)\equiv x(t){\widehat{𝐞}}_x+y(t){\widehat{𝐞}}_y+z(t){\widehat{𝐞}}_z\\ & \equiv 𝐫(r,\theta ,\varphi )\equiv r(t){\widehat{𝐞}}_r(\theta (t),\varphi (t))\\ & \equiv 𝐫(r,\varphi ,z)\equiv r(t){\widehat{𝐞}}_r(\varphi (t))+z(t){\widehat{𝐞}}_z,\\ \end{array}$

onde t é un parámetro, debido á súa simetría rectangular ou circular. Estas diferentes coordenadas e os correspondentes vectores de base representan o mesmo vector de posición. No seu lugar pódense usar coordenadas curvilíneas máis xerais e están en contextos como a mecánica de continuos e a relatividade xeral (neste último caso necesítase unha coordenada temporal adicional).

n dimensións

A álxebra linear permite a abstracción dun vector de posición n-dimensional. Un vector de posición pódese expresar como unha combinación linear de vectores de unha base:

$𝐫=\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐞}_i=x_1{𝐞}_1+x_2{𝐞}_2+\cdots +x_n{𝐞}_n.$

Derivadas

Cantidades cinemáticas dunha partícula clásica: masa m, posición r, velocidade v, aceleración a

Para un vector de posición r que é función do tempo t, podemos calcular as derivadas en relación ao tempo t. Estas derivadas teñen unha utilidade común no estudo da cinemática, a teoría do control, enxeñaría e outras ciencias.

Velocidade

$𝐯=\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t},$

onde d r é un desprazamento infinitesimalmente pequeno.

Aceleración

$𝐚=\frac{\mathrm{d}𝐯}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2𝐫}{\mathrm{d}{t}^2}.$

Sobreaceleración ou arrincada

$𝐣=\frac{\mathrm{d}𝐚}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2𝐯}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^3𝐫}{\mathrm{d}{t}^3}.$

Estes nomes para as derivadas primeira, segunda e terceira de posición úsanse habitualmente na cinemática básica.

Véxase tamén

Bibliografía

• Keller, F. J., Gettys, W. E. et al. (1993). "Physics: Classical and modern" 2nd ed. McGraw Hill Publishing.

Outros artigos

• Sistema de coordenadas.

Modelo:Control de autoridades