Corte de Dedekind

Un corte de Dedekind separa o conxunto de números racionais en dous subconxuntos: aqueles que teñen un cadrado menor que 2 e os que teñen cadrado maior que 2. Este corte pode identificarse co número irracional $\sqrt{2}$. O conxunto de cortes de Dedekind pódese usar para construír o conxunto de números reais a partir dos números racionais.

En matemáticas, un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado $E$ é un par ($A$, $B$) de subconxuntos de $E$, que forman unha partición de $E$, e onde todos os elementos de $A$ son menores que calquera elemento de $B$.

De certa maneira, este corte conceptualiza algo que estaría "entre" $A$ e $B$, pero que non ten por que ser un elemento de $E$.

Richard Dedekind introduciu os cortes de Dedekind como un medio para construír o conxunto dos números reais (presentando formalmente o que hai "entre" números racionais).

Definición

Un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado $E$ defínese por un par ($A$, $B$), onde $A\subset E$ e $B\subset E$, tal que:

1. $A\ne \mathrm{\varnothing },B\ne \mathrm{\varnothing }$
2. $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$
3. $A\cup B=E$
4. $\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\forall }y\in B,x<y$

Os puntos 1, 2 e 3 din que $A$ e $B$ constitúen unha partición de $E$. Polo tanto, a definición de corte determina completamente unha partición.

O punto 4 establece a partición dos elementos de $E$ nestas dúas partes. Pode demostrarse que este punto equivale a:

• $\mathrm{\forall }x\in E,(a\in A\wedge x\le a\Rightarrow x\in A)$ e
• $\mathrm{\forall }y\in E,(b\in B\wedge y\ge b\Rightarrow y\in B)$.

Exemplos

Construción dos números reais

Se $E=\mathbb{Q}$, o conxunto de números racionais, pode considerarse o corte seguinte:

$A=\{a\in \mathbb{Q}|a^2<2\vee a\le 0\}$

$B=\{b\in \mathbb{Q}|b^2\ge 2\wedge b>0\}$

Este corte permite representar o número irracional $\sqrt{2}$ que aquí se define tanto polo conxunto de números racionais que teñen cadrado máis pequeno que 2 como polo dos que teñen cadrado maior que 2.

A consideración de todos os cortes de Dedekind sobre $\mathbb{Q}$ permite unha construción do conxunto dos números reais $ℝ$.

Orde dos cortes de Dedekind

Sexan $(A,B)$ e $(C,D)$ dous cortes de Dedekind en $E$. Defínese unha orde no conxunto de cortes de Dedekind de $E$ establecendo:

$(A,B)<(C,D)\iff A\subset C$.

Pódese demostrar que o conxunto dos cortes de Dedekind $E$ provisto desta orde posúe a propiedade do elemento principal, aínda que $E$ non a posúa. Somerxendo $E$ neste conxunto, esténdese a un conxunto do cal todo subconxunto limitado superiormente posúe un supremo.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número real
• Construción de números reais
• Sucesión de Cauchy