Hipérbole unitaria

A hipérbole unitaria é azul, a súa conxugada é verde e as asíntotas son vermellas.

En xeometría, a hipérbole unitaria é o conxunto de puntos (x,y) no plano cartesiano que satisfán a ecuación implícita $x^2-y^2=1.$ No estudo dos grupos ortogonais indefinidos, a hipérbole unidade forma a base para unha lonxitude radial alternativa

$r=\sqrt{x^2-y^2}.$

Mentres que a circunferencia unitaria rodea o seu centro, a hipérbole unitaria require a hipérbole conxugada $y^2-x^2=1$ para complementala no plano. Este par de hipérboles comparten as asíntotas y = x e y = −x. Cando se usa a conxugada da hipérbole unidade, a lonxitude radial alternativa é $r=\sqrt{y^2-x^2}.$

A hipérbole unitaria é un caso especial da hipérbole rectangular, cunha orientación, localización e escala particulares. Como tal, a súa excentricidade é igual a $\sqrt{2}.$

A hipérbole unitaria atopa aplicacións onde a circunferencia debe ser substituída pola hipérbole para fins de xeometría analítica. Un exemplo destacado é a representación do espazo-tempo como un espazo pseudo-euclidiano. Alí, as asíntotas da hipérbole unitaria forman un cono de luz.

A atención ás áreas dos sectores hiperbólicos por Gregoire de Saint-Vincent levou á función logaritmo e á moderna parametrización da hipérbole por áreas de sectores. Cando se comprenden as nocións de hipérboles conxugadas e ángulos hiperbólicos, entón os números complexos clásicos, que se constrúen arredor da circunferencia unitaria, poden ser substituídos por números construídos arredor da hipérbole unitaria.

Asíntotas

Modelo:Principal Xeralmente, as liñas asintóticas a unha curva dinse que converxen cara á curva. En xeometría alxébrica e na teoría das curvas alxébricas hai un enfoque diferente ás asíntotas. A curva interprétase primeiro no plano proxectivo usando coordenada homoxénea. Entón, as asíntotas son liñas que son tanxentes á curva proxectiva nun punto no infinito, evitando así a necesidade dun concepto de distancia e converxencia. Nun marco común (x, y, z) son coordenadas homoxéneas coa liña no infinito (recta impropia) determinada pola ecuación z = 0. Por exemplo, C. G. Gibson escribiu:

Para a hipérbole rectangular estándar $f=x^2-y^2-1$ en ${ℝ}^2$, a curva proxectiva correspondente é $F=x^2-y^2-z^2,$ que se encontra con z = 0 nos puntos P = (1 : 1 : 0) e Q = (1 : −1 : 0). Tanto P como Q son simples en F, con tanxentes x + y = 0, x − y = 0; así recuperamos as 'asíntotas' familiares da xeometría elemental.

Diagrama de Minkowski

Modelo:Principal O diagrama de Minkowski está deseñado nun plano de espazo-tempo onde o aspecto espacial foi restrinxido a unha única dimensión. As unidades de distancia e tempo nun plano deste tipo son

• unidades de 30 centímetros de lonxitude e nanosegundos, ou
• unidades astronómicas e intervalos de 8 minutos e 20 segundos, ou
• anos luz e anos.

Cada unha destas escalas de coordenadas resulta en conexións de fotóns de eventos ao longo de liñas diagonais de pendente máis ou menos un.

Cinco elementos constitúen o diagrama que Hermann Minkowski usou para describir as transformacións da relatividade: a hipérbole unitaria , a súa hipérbole conxugada, os eixos da hipérbole, un diámetro da hipérbole unitaria e o diámetro conxugado. O plano cos eixos refírese a un sistema de referencia en repouso. O diámetro da hipérbole unitaria representa un sistema de referencia en movemento con rapidez $a$ onde $\tanh a=y/x$ e $(x,y)$ é o punto final do diámetro na hipérbole unitaria. O diámetro conxugado representa o hiperplano espacial de simultaneidade correspondente á rapidez $a$.

Parametrización

As ramas da hipérbole unitaria evolucionan como os puntos $(\cosh a,\sinh a)$ e $(-\cosh a,-\sinh a)$ dependendo do parámetro do ángulo hiperbólico $a$.

Un xeito directo de parametrizar a hipérbole unitaria comeza coa hipérbole xy = 1 parametrizada coa función exponencial: $(e^t,e^{-t}).$

Esta hipérbole transfórmase na hipérbole unitaria mediante unha aplicación linear que ten por matriz $A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right):$

$(e^t,e^{-t})A=(\frac{e^t+e^{-t}}{2},\frac{e^t-e^{-t}}{2})=(\cosh t,\sinh t).$

Este parámetro t é o ángulo hiperbólico, que é o argumento das funcións hiperbólicas.

Véxase tamén

Bibliografía

• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, Modelo:Isbn .

Outros artigos

Hipérbole