Función parcial

En matemáticas, unha función parcial Modelo:Mvar dun conxunto Modelo:Mvar a un conxunto Modelo:Mvar é unha función dun subconxunto Modelo:Mvar de Modelo:Mvar a Modelo:Mvar. O subconxunto Modelo:Mvar, é dicir, o dominio de $f$ visto como función, chámase dominio de definición ou dominio natural de $f$. Se Modelo:Mvar é igual Modelo:Mvar, é dicir, se $f$ se define en todos os elementos de Modelo:Mvar, entón dise que $f$ é unha función total.

Noutras palabras, $f$ é unha relación tal que a restrición de $f$ ao seu domínio é unha función.

A miúdo úsase unha función parcial cando non se coñece o seu dominio exacto de definición ou é difícil de especificar. Non obstante, mesmo cando se coñece o dominio exacto da definición, as funcións parciais adoitan usarse por sinxeleza ou brevidade. Este é o caso do cálculo, onde, por exemplo, o cociente de dúas funcións é unha función parcial cuxo dominio de definición non pode conter os ceros do denominador; neste contexto, unha función parcial é xeralmente chamada simplemente Modelo:Em .

Cando se usa a notación de frecha para funcións, unha función parcial $f$ dende $X$ a $Y$ ás veces escríbese como $f:X\rightharpoonup Y,$$f:X\nrightarrow Y$.

En concreto, para unha función parcial $f:X\rightharpoonup Y,$ e calquera $x\in X,$ temos:

• $f(x)=y\in Y$ (é un único elemento en Modelo:Mvar ), ou
• $f(x)$ está indefinido.

Por exemplo, se $f$ é a función raíz cadrada restrinxida aos números enteiros

$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N},$ definido por:

$f(n)=m$ se, e só se, $m^2=n,$$m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{Z},$

logo $f(n)$ só se define se $n$ é un cadrado perfecto (é dicir, $0,1,4,9,16,\dots$ ). Entón $f(25)=5$ mais $f(26)$ está indefinido.

Conceptos básicos

Moitas propiedades das funcións pódense ampliar nun sentido apropiado para as funcións parciais. Dise que unha función parcial é inxectiva, sobrexectiva ou bixectiva cando a función dada pola restrición da función parcial ao seu dominio de definición é inxectiva, sobrexectiva e bixectiva, respectivamente.

Como unha función é trivialmente sobrexectiva cando está restrinxida á súa imaxe, o termo bixección parcial denota unha función parcial que é inxectiva.

Discusión e exemplos

Logaritmo natural

Considere a función do logaritmo natural que mapea os números reais en si mesmos. O logaritmo dun real non positivo non é un número real, polo que a función do logaritmo natural non asocia ningún número real do codominio con ningún número real non positivo do dominio. Polo tanto, a función de logaritmo natural non é unha función cando se ve como unha función dos reais en si mesmos, senón que é unha función parcial. Se o dominio está restrinxido para incluír só os reais positivos (é dicir, se a función do logaritmo natural é vista como unha función dos reais positivos aos reais), entón o logaritmo natural é unha función.

Na teoría de categorías

Na teoría de categorías, ao considerar a operación de composición de morfismos en categorías concretas, a operación de composición $\circ :\mathrm{hom}(C)\times \mathrm{hom}(C)\to \mathrm{hom}(C)$ é unha función total se e só se $\mathrm{ob}(C)$ ten un elemento. A razón disto é que dous morfismos $f:X\to Y$ e $g:U\to V$ só poden ser compostos como $g\circ f$ se $Y=U,$ é dicir, o codominio de $f$ debe ser igual ao dominio de $g.$

A categoría de conxuntos e funcións parciais é equivalente pero non isomorfa coa categoría de conxuntos apuntados e mapas de conservación de puntos. Un libro de texto sinala que "Esta realización formal de conxuntos e mapas parciais engadindo elementos "impropios" e "infinitos" reinventouse moitas veces, en particular, na topoloxía (compactación dun punto).

Na álxebra abstracta

A álxebra parcial xeneraliza a noción de álxebra universal ás operacións parciais. Un exemplo sería un corpo, no que a inversión multiplicativa é a única operación parcial adecuada (porque a división por cero non está definida).

Cartas e atlas para variedades e fibrados

As cartas dos atlas que especifican a estrutura das variedades e dos fibrados son funcións parciais. No caso das variedades, o dominio é o conxunto de puntos da variedade. No caso dos fibrados, o dominio é o espazo do fibrado. Nestas aplicacións, a construción máis importante é o mapa de transición, que é a composición dunha carta coa inversa doutra. A clasificación inicial de variedades e fibrados exprésase en gran medida en termos de restricións nestes mapas de transición.

O motivo do uso de funcións parciais en lugar de funcións é permitir que se representen topoloxías globais xerais unindo parches locais para describir a estrutura global. Os "parches" son os dominios onde se definen as cartas.

Véxase tamén

Bibliografía

• Martin Davis (1958), Computability and Unsolvability, McGraw–Hill Book Company, Inc, New York. Republished by Dover in 1982. Modelo:Isbn.
• Stephen Kleene (1952), Introduction to Meta-Mathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands, 10th printing with corrections added on 7th printing (1974). Modelo:Isbn.
• Harold S. Stone (1972), Introduction to Computer Organization and Data Structures, McGraw–Hill Book Company, New York.

Outros artigos

• Continuación analítica.
• Función logaritmo.