Distribución de Pareto

Modelo:Outros homónimos Modelo:Modelo de distribución de probabilidade En estatística a distribución de Pareto, formulada polo sociólogo Vilfredo Pareto, é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros, que ten aplicación en disciplinas como a socioloxía, a xeofísica e a economía. Nalgunhas disciplinas refírense ás veces como a lei de Bradford. O equivalente discreto da distribución de Pareto é a distribución zeta (a lei de Zipf).

Probabilidade acumulada

Se X pertence ao dominio da variable da distribución de Pareto, entón a probabilidade de que X sexa maior que un número x vén dada por:

$Pr(X>x)=\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{x}\right)}^{\alpha }& \text{si }x\ge x_{\mathrm{m}},\\ 1& \text{si }x<x_{\mathrm{m}}.\end{array}$

onde x_m é o valor mínimo posible (positivo) de X, e α é un parámetro. A familia das distribucións de Pareto parametrízanse con dúas cantidades, x_m e α. Cando esta distribución se emprega nun modelo sobre a distribución de riqueza, o parámetro α é coñecido como índice de Pareto.

Función de densidade

A partir da probabilidade acumulada, pode deducirse mediante unha derivada que a función de densidade de probabilidade é:

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\alpha \frac{x_{\mathrm{m}}^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}& \text{si }x>x_{\mathrm{m}},\\ 0& \text{si }x<x_{\mathrm{m}}.\end{array}$

Propiedades

• A media ou valor esperado dunha variable aleatoria X, que segue unha distribución de Pareto con parámetro α > 1 é

$E(X)=\frac{\alpha x_{\mathrm{m}}}{\alpha -1}$

(se α ≤ 1, o valor esperado non existe).

• A varianza é

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)={\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{\alpha -1}\right)}^2\frac{\alpha }{\alpha -2}.$

(Si α ≤ 2, a varianza non existe).

• Os momentos son

${{\mu }_n}^{\prime }=\frac{\alpha x_{\mathrm{m}}^n}{\alpha -n},$

pero o n-ésimo momento existe só para n < α.

• A función xeradora de momentos só está definida para valores non positivos de t ≤ 0 segundo:

$M(t,\alpha ,x_{\mathrm{m}})=E(e^{tX})=\alpha (-x_{\mathrm{m}}t{)}^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(-\alpha ,-x_{\mathrm{m}}t)\text{ and }M(0,\alpha ,x_{\mathrm{m}})=1.$

Caso dexenerado

A función da delta de Dirac é un caso límite da densidade de Pareto:

$\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\delta (x-x_{\mathrm{m}}).$

Distribución simétrica

Pode definirse unha Distribución de Pareto simétrica segundo:

$f(x;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\{\begin{array}{cc}(\alpha x_{\mathrm{m}}^{\alpha }/2)|x{|}^{-\alpha -1}& \text{si }|x|>x_{\mathrm{m}}\\ 0& \text{resto}.\end{array}$

Distribución xeneralizada de Pareto

Modelo:Modelo de distribución de probabilidade A familia de distribucións xeneralizadas de Pareto (GPD) teñen tres parámetros $\mu ,\sigma$ e $\xi$.

A función de probabilidade acumulada é

$F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\{\begin{array}{cc}1-{(1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma })}^{-1/\xi }& \text{si }\xi \ne 0,\\ 1-\exp (-\frac{x-\mu }{\sigma })& \text{si }\xi =0.\end{array}$

Para $x⩾\mu$, con $\xi ⩾0$, e $x⩽\mu -\sigma /\xi$ con $\xi <0$, onde $\mu \in ℝ$ é o parámetro localización, $\sigma >0$ é o parámetro escala e $\xi \in ℝ$ é o parámetro forma. Algunhas referencias toman o parámetro forma como $\kappa =-\xi$.

A función de densidade de probabilidade es:

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\frac{1}{\sigma }{(1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma })}^{(-\frac{1}{\xi }-1)}.$

ou

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\frac{{\sigma }^{\frac{1}{\xi }}}{{(\sigma +\xi (x-\mu ))}^{\frac{1}{\xi }+1}}.$

de novo, para $x⩾\mu$, e $x⩽\mu -\sigma /\xi$ se $\xi <0$

Véxase tamén

Bibliografía

• Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
• Christian Kleiber e Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Nova York:Wilei. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
• Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

Ligazóns externas

• Calculadora - Distribución de Pareto