Contradición

Modelo:Infobox En lóxica, unha contradición é unha incompatibilidade entre dúas ou máis proposicións. Por exemplo, as frases "chove e non chove" e "nin chove nin trona, mais chove e trona" expresan contradicións lóxicas.

Táboa de verdade

Na lóxica proposicional, unha contradición defínese como unha fórmula que resulta ser falsa para calquera interpretación, é dicir, para calquera asignación de valores de verdade ás súas fórmulas atómicas. Por exemplo:

Para unha función dunha variábel:

$\begin{array}{c}p\\ V\\ F\end{array}$

e unha función desa variábel:

$\begin{array}{ccc}p& \sim p& p\wedge \sim p\\ V& F& F\\ F& V& F\end{array}$

O que dá falso para todos os valores de $p$ .

Unha función de dúas variábeis:

$\begin{array}{cc}p& q\\ V& V\\ V& F\\ F& V\\ F& F\end{array}$

A seguinte táboa mostra unha contradición:

$\begin{array}{ccccc}p& q& (p\vee q)& \sim (p\vee q)& (p\vee q)\iff \sim (p\vee q)\\ V& V& V& F& F\\ V& F& V& F& F\\ F& V& V& F& F\\ F& F& F& V& F\end{array}$

Dada esta definición, toda contradición é a negación dunha tautoloxía, e toda tautoloxía é a negación dunha contradición. Seguindo o exemplo anterior, negando a contradición obtemos unha tautoloxía:

$\begin{array}{cccccc}p& q& (p\vee q)& \sim (p\vee q)& (p\vee q)\iff \sim (p\vee q)& \sim ((p\vee q)\iff \sim (p\vee q))\\ V& V& V& F& F& V\\ V& F& V& F& F& V\\ F& V& V& F& F& V\\ F& F& F& V& F& V\end{array}$

Lóxica de proposicións

Sendo $𝒫$ o conxunto de proposición, e $a,b,c,d\dots$ proposicións de $𝒫$, pódese definir a operación nularia: contradición, pola cal sen argumentos ou independentemente dos argumentos, a unha variábel $a$ de $𝒫$ asígnaselle o valor falso.

$\begin{array}{cccc}\mathrm{\perp }:& \varnothing & ⟶& 𝒫\\ & ()& \mapsto & a=\mathrm{\perp }()=F\end{array}$

Nos diagramas de Venn de enriba, pódense ver para: ningunha, unha e dúas variábeis o resultado falso. Unha contradición é calquera expresión lóxica ou booleana equivalente a un resultado falso, para todos os valores das súas variábeis, independentemente do número de variábeis que teña dita expresión ou función.

Véxase tamén

Bibliografía

• Józef Maria Bocheński 1960 Précis of Mathematical Logic, translated from the French and German editions by Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, South Holland.
• Jean van Heijenoort 1967 From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)
• Ernest Nagel and James R. Newman 1958 Gödel's Proof, New York University Press, Card Catalog Number: 58-5610.

Outros artigos

• Redución ao absurdo.

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Modelo:Springer