Condición necesaria e suficiente

En lóxica e matemáticas, necesario e suficiente son termos usados para describir unha relación condicional ou implicacional entre dous enunciados. Por exemplo, no enunciado condicional: "Se Modelo:Mvar entón Modelo:Mvar", Modelo:Mvar é suficiente para Modelo:Mvar, porque que Modelo:Mvar sexa verdadeiro sempre implica que Modelo:Mvar é verdadeira, mais que Modelo:Mvar non sexa verdadeira non sempre implica que Modelo:Mvar non sexa verdade, pode haber outras condicións que tamén impliquen Modelo:Mvar. Por outra parte, é máis complicado de ver que Modelo:Mvar é necesario para Modelo:Mvar pois é imposíbel ter Modelo:Mvar sen Modelo:Mvar, ou a falsidade de Modelo:Mvar asegura a falsidade de Modelo:Mvar.

En xeral, unha condición necesaria é aquela (posiblemente unha de varias condicións) que debe estar presente para que se produza outra condición, mentres que unha condición suficiente é aquela que por si mesma produce a dita condición. A afirmación de que unha afirmación é unha condición "necesaria e suficiente" significa que a primeira afirmación é verdadeira se e só se a segunda é certa. É dicir, as dúas afirmacións deben ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.

Definicións

No enunciado condicional, "se S, entón N ", a expresión representada por S chámase antecedente e a expresión representada por N denomínase consecuente. Esta declaración condicional pódese escribir de varias maneiras equivalentes, como "N se S ", "S só se N ", "S implica N ", "N está implicado por S ", Modelo:Math, Modelo:Math e "N sempre que S".

Táboa de verdade

		$S\Rightarrow N$	$S\Leftarrow N$	$S\iff N$
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Necesario

Que o sol estea por riba do horizonte é unha condición necesaria para a luz solar directa; mais non é unha condición suficiente, xa que algo pode estar proxectando unha sombra, por exemplo, a lúa no caso dunha eclipse.

A afirmación de que Q é necesaria para P é coloquialmente equivalente a "P non pode ser verdadeira a menos que Q sexa verdadeira" ou "se Q é falsa, entón P é falsa". Por contraposición, isto é o mesmo que "sempre que P é verdadeira, tamén o é Q ".

A relación lóxica entre P e Q exprésase como "se P, entón Q" e denotase "P ⇒ Q" ( P implica Q ). Tamén se pode expresar como "P só se Q", " Q, se P ", "Q sempre que P " e "Q cando P ". A miúdo atópanse, na prosa matemática, por exemplo, varias condicións necesarias que, tomadas en conxunto, constitúen unha condición suficiente (é dicir, necesarias individualmente e suficientes conxuntamente ).

Suficiente

Que un tren circule a tempo pode ser unha condición suficiente para chegar a tempo (se un sube ao tren e sae a tempo, entón chegará a tempo); mais non sempre é unha condición necesaria, xa que hai outras formas de viaxar (se o tren non vai a tempo, aínda se podería chegar a tempo por outros medios de transporte).

Se P é suficiente para Q, entón saber que P é verdadeira é un motivo adecuado para concluír que Q é verdadeira; porén, saber que P é falsa non satisfai unha necesidade mínima de concluír que Q é falsa.

A relación lóxica exprésase, como antes, como "se P, entón Q" ou "P ⇒ Q". Isto tamén se pode expresar como "P só se Q", "P implica Q" ou varias outras variantes. Pode darse o caso de que varias condicións suficientes, tomadas en conxunto, constitúan unha única condición necesaria (é dicir, suficiente individual e necesariamente conxuntamente)

Relación entre necesario e suficiente

Estar na rexión morada (a intersección) é suficiente para estar en A, mais non é necesario. Estar en A é necesario para estar na rexión morada (a intersección), mais non suficiente. Estar en A e estar en B é necesario e suficiente para estar na rexión morada (a intersección).

Unha condición pode ser necesaria ou suficiente sen ser a outra. Por exemplo, ser un mamífero (N) é necesario mais non suficiente para ser humano (S), tamén un número $x$ é racional (S) é suficiente mais non necesario para que $x$ sexa un número real (N) (xa que hai números reais que non son racionais).

Unha condición pode ser necesaria e suficiente. Por exemplo, "hoxe é o 25 de xullo" é unha condición necesaria e suficiente para "hoxe é o Día da Galicia". Do mesmo xeito, unha condición necesaria e suficiente para a invertibilidade dunha matriz M é que M teña un determinante distinto de cero.

Necesario e suficiente simultáneas

Dicir que P é necesario e suficiente para Q é dicir dúas cousas:

1. que P é necesario para Q, $P\Leftarrow Q$, e que P é suficiente para Q, $P\Rightarrow Q$ .
2. equivalentemente, pódese entender que P e Q son necesarios para o outro, $P\Rightarrow Q\wedge Q\Rightarrow P$, que tamén se pode afirmar como cada un é suficiente para ou implica o outro.

Pódese resumir calquera, e polo tanto todos, estes casos coa afirmación "P se e só se Q", que se denota por $P\iff Q$, mentres que os casos dinnos iso $P\iff Q$ é idéntico a $P\Rightarrow Q\wedge Q\Rightarrow P$ .

En matemáticas, os teoremas adoitan expresarse na forma "P é verdadeira se e só se Q é verdade".

Podemos escribir $P\iff Q\equiv Q\iff P$ porque as afirmacións "P é verdadeira se e só se Q é verdadeira" e "Q é verdadeira se e só se P é verdadeira" son equivalentes.

Véxase tamén

Outros artigos

• se e só se.
• Modus ponens.
• Modus tollens.

Ligazóns externas

• Tutorial web de pensamenteo crítico: Necessary and Sufficient Conditions
• Simon Fraser University: Concepts with examples

Modelo:Control de autoridades