Matriz de Toeplitz

De testwiki
Revisión feita o 14 de marzo de 2025 ás 05:12 por imported>InternetArchiveBot (Engade 2 libros para verificar (20250312)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot)
(dif) ← Revisión máis antiga | Revisión actual (dif) | Revisión máis nova → (dif)
Saltar á navegación Saltar á procura

Na álxebra linear, unha matriz de Toeplitz ou matriz constante diagonal, que recibe o nome por Otto Toeplitz, é unha matriz na que cada diagonal descendente de esquerda a dereita é constante. Por exemplo, a seguinte matriz é unha matriz de Toeplitz:

[abcdefabcdgfabchgfabihgfa].

Calquera matriz n×n A da forma

A=[a0a−1a−2⋯⋯a−(n−1)a1a0a−1⋱⋮a2a1⋱⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋱a−1a−2⋮⋱a1a0a−1an−1⋯⋯a2a1a0]

é unha matriz de Toeplitz.

Unha matriz de Toeplitz non é necesariamente cadrada.

Resolver un sistema Toeplitz

Unha ecuación matricial da forma

Ax=b

chámase sistema de Toeplitz se A é unha matriz de Toeplitz. Se A é unha matriz n×n de Toeplitz, entón o sistema ten como máximo 2n−1 valores únicos, en lugar de n2. Poderíamos, polo tanto, esperar que a solución dun sistema Toeplitz fose máis fácil, e de feito ese é o caso.

Os sistemas Toeplitz pódense resolver mediante algoritmos como o algoritmo de Schur ou o algoritmo de Levinson en tempo O(n2).[1] [2]

Unha matriz de Toeplitz tamén se pode descompoñer (é dicir, factorizar) en tempo O(n2).[3] O algoritmo de Bareiss para unha descomposición LU é estábel.[4] Unha descomposición LU proporciona un método rápido para resolver un sistema de Toeplitz, e tamén para calcular o determinante.

Propiedades

  • O conxunto das matrices n×n de Toeplitz son un subespazo do espazo vectorial das matrices n×n (baixo suma matricial e multiplicación escalar).
  • As matrices de Toeplitz son persimétricas . As matrices de Toeplitz simétricas son tanto centrosimétricas como bisimétricas.
  • As matrices de Toeplitz tamén están estreitamente relacionadas coas series de Fourier, porque o operador de multiplicación por un polinomio trigonométrico, comprimido nun espazo de dimensión finita, pode ser representado por tal matriz. Do mesmo xeito, pódese representar a convolución linear como multiplicación por unha matriz de Toeplitz.
  • As matrices de Toeplitz conmutan de forma asintótica. Isto significa que diagonalizan na mesma base cando a dimensión da fila e da columna tende ao infinito.
  • Para as matrices de Toeplitz simétricas, existe a descomposición
1a0A=GGT−(G−I)(G−I)T
onde G é a parte triangular inferior de 1a0A.
A−1=1α0(BBT−CCT)
onde B e C son matrices de Toeplitz triangulares inferiores e C é unha matriz triangular estritamente inferior.[5]

Convolución discreta

A operación de convolución pódese construír como unha multiplicación matricial, onde unha das entradas se converte nunha matriz de Toeplitz. Por exemplo, a convolución de h e x pódese formular como:

y=h∗x=[h10⋯00h2h1⋮⋮h3h2⋯00⋮h3⋯h10hm−1⋮⋱h2h1hmhm−1⋮h20hm⋱hm−2⋮00⋯hm−1hm−2⋮⋮hmhm−1000⋯hm][x1x2x3⋮xn]
yT=[h1h2h3⋯hm−1hm][x1x2x3⋯xn000⋯00x1x2x3⋯xn00⋯000x1x2x3…xn0⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮0⋯00x1⋯xn−2xn−1xn00⋯000x1⋯xn−2xn−1xn].

Este enfoque pódese estender para calcular a autocorrelación, a correlación cruzada, a media móbil, etc.

Notas

Modelo:Reflist Modelo:Reflist

Véxase tamén

Modelo:Commonscat

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Modelo:Control de autoridades

  1. ↑ Modelo:Cita Harvard sen parénteses
  2. ↑ Modelo:Cita Harvard sen parénteses
  3. ↑ Modelo:Cita Harvard sen parénteses
  4. ↑ Modelo:Cita Harvard sen parénteses
  5. ↑ Modelo:Cita Harvard sen parénteses
Obtido de «https://gl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Matriz_de_Toeplitz&oldid=1849»