Autocorrelación

A autocorrelación é unha operación matemática consistente na correlación dunha función con ela mesma. Existen varias definicións dependendo do campo de estudo que se considere, tipicamente o procesamento de sinais por unha banda e a estatística por outra.

Definicións

Imos ver a continuación as dúas definicións que se adoitan atopar, a da estatística, para variabeis discretas e as empregadas en procesamento de sinais para variabeis continuas e discretas.

Estatística

Por unha banda en estatística, a autocorrelación é unha medida que informa de canto o valor dunha realización dunha variábel aleatoria é capaz de influenciar os seus veciños. Por exemplo, o canto a existencia de valor máis alto condiciona valores tamén altos dos seus veciños.

Supóndose unha variábel aleatoria X_t discreta estacionaria, dependente do tempo, con media μ, a súa autocorelación $R(k)$ ven definida como:

$R(k)=\frac{E[(X_t-\mu )(X_{t+k}-\mu )]}{{\sigma }^2}$

onde E[ ] é o valor medio, ou valor agardado da expresión, $k$ é o movemento no tempo e $\sigma$ é a variancia da variábel $X_t$.

Segundo a definición da estatística, o valor da autocorrelación está entre 1 (correlación perfeita) e -1, o que significa anti-correlación perfeita. O valor 0 significa total ausencia de correlación.

Procesamento de sinais

En procesamento de sinais a autocorrelación continua dun sinal f(t), R_f(τ), defínese como a correlación continua de f(t) con ela mesma mais desprazada por un valor τ

$R_f(\tau )=f^{*}(-\tau )\circ f(\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t+\tau )f^{*}(t)dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)f^{*}(t-\tau )dt$

onde f^* represente a complexa conxugada e o cículo representa a convolución. Para unha función real, f^* = f.

A autocorrelación discreta R a un valor de desprazamento j para o sinal x_n é

$R(j)=\sum _n(x_n-m)(x_{n-j}-m)$

onde m é o valor medio (valor agardado) de x_n. Para sinais centrados no cero (de valor medio nulo) a definición fica en:

$R(j)=\sum _n{x}_n{x}_{n-j}.$

A autocorrelación multidimensional defínese de xeito semellante. Así, a autocorrelación en tres dimensións, defínese:

$R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}(x_{n,q,r}-m)(x_{n-j,q-k,r-\ell }-m).$

Propiedades

A autocorrelación dunha dada variábel defínese pola distancia, ou atraso con que se desexa medila. Cando esa distancia é cero, tense o valor máximo 1, pois trátase da variábel correlacionada con ela mesma. Outros valores deben calcularse caso a caso.

Caso se retire da fórmula enriba a variancia $\sigma$ tense a chamada autocovariancia, que descreve o canto a variábel $X_t$ varía en conxunto coa súa instancia con atraso $k$.

Aplicacións

O concepto de autocorrelación ten aplicación a moitas áreas, que van da análise dos sinais á óptica, pasando pola economía e pola xeofísica.

Un chamativo exemplo é o autocorrelador, un instrumento óptico de precisión capaz de caracterizar pulsos ópticos de femtosegundos.

Véxase tamén

• Autocorrelación óptica
• Correlación
• Autocorrelador

Compárese co termo autocorrelador da física óptica