Grupo de automorfismos externos

En matemáticas, o grupo externo de automorfismos dun grupo, Modelo:Mvar, é o cociente, Modelo:Math, onde Modelo:Math é o grupo de automorfismos de Modelo:Mvar e Modelo:Math ) é o subgrupo formado polos automorfismos internos. O grupo de automorfismos externos adoita denotarse Modelo:Math. Se Modelo:Math é trivial e Modelo:Mvar ten un centro trivial, entón dise que Modelo:Mvar é completo.

Un automorfismo dun grupo que non é interno chámase automorfismo externo. As coclases de Modelo:Math en relación aos automorfismos externos son entón os elementos de Modelo:Math; este é un exemplo do feito de que os cocientes de grupos non son, en xeral, (isomorfos a) subgrupos. Se o grupo de automorfismos interno é trivial (cando un grupo é abeliano), o grupo de automorfismos e o grupo de automorfismos externos identifícanse naturalmente; é dicir, o grupo de automorfismos externos si actúa sobre o grupo.

Por exemplo, para o grupo alternante, Modelo:Math, o grupo de automorfismo externo adoita ser o grupo de orde 2, coas excepcións que se indican a continuación. Considerando Modelo:Math como un subgrupo do grupo simétrico, Modelo:Math, a conxugación mediante calquera permutación impar é un automorfismo externo de Modelo:Math ou, máis precisamente, "representa a clase do automorfismo externo (non trivial) de Modelo:Math ", mais o automorfismo externo non corresponde á conxugación por ningún elemento impar en particular, e todos as conxugación por elementos impares son equivalentes até conxugación por un elemento par.

Estrutura

A conxectura de Schreier afirma que Modelo:Math é sempre un grupo resolúbel cando Modelo:Mvar é un grupo finito simple. Agora sábese que este resultado é certo como corolario da clasificación de grupos simples finitos, aínda que non se coñece ningunha proba máis sinxela.

Como dual do centro

O grupo de automorfismos externos é dual ao centro no seguinte sentido: a conxugación por un elemento de Modelo:Mvar é un automorfismo, que produce un mapa Modelo:Math. O núcleo do mapa de conxugación é o centro, mentres que o conúcleo é o grupo de automorfismos exterinos (e a imaxe é o grupo do automorfismo interno). Isto pódese resumir coa secuencia exacta

$Z(G)\hookrightarrow G\stackrel{\sigma }{⟶}\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)\twoheadrightarrow \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$.

Aplicacións

O grupo de automorfismos externos dun grupo actúa sobre as clases de conxugación e, en consecuencia, sobre a táboa de caracteres.

Topoloxía de superficies

O grupo de automorfismos externos é importante na topoloxía das superficies porque existe unha conexión proporcionada polo teorema de Dehn-Nielsen: o grupo de clase de mapa (ou difeotopía, clase de equivalencia para a relación de isotopía entre difeomorfismos nunha variedade diferencial) estendido da superficie é o grupo de automorfismos externos do seu grupo fundamental.

Véxase tamén

Outros artigos

• Homomorfismo
• Centro (teoría de grupos).

Ligazóns externas

• ATLAS of Finite Group Representations-V3, contén moita información sobre varias clases de grupos finitos (en particular grupos simples esporádicos), incluíndo a orde de Modelo:Math para cada grupo listado.