Notación de Einstein

En matemáticas, especialmente na álxebra linear, na física matemática e a xeometría diferencial, a notación de Einstein (tamén coñecida como convención de suma de Einstein ou convención de Einstein) é unha convención de notación que implica un sumatorio de termos indexados nunha fórmula, conseguindo así brevidade na escrita.

Como parte das matemáticas é un subconxunto da notación do cálculo de Ricci; porén, úsase a miúdo en aplicacións de física que non se distingue entre espazo tanxente e espazo cotanxente.

Foi introducido na física por Albert Einstein en 1916.^[1]

Introdución

Enunciado da convención

Segundo esta convención, cando un índice dunha variábel aparece dúas veces nun único termo da suma e non está definida doutro xeito (ver variábel libre e variábel vinculada), implica a suma dese termo sobre todos os valores do índice. Entón, por exemplo, se temos que os índices poden variar sobre o conxunto Modelo:Math,

y = \sum_{i = 1}^{3} x^{i} e_{i} = x^{1} e_{1} + x^{2} e_{2} + x^{3} e_{3}

simplifícase polo convenio como:

y = x^{i} e_{i}

.

Isto pode lerse como $y$ igual a $x$ super $i$ por $e$ sub $i$ .

Os índices superiores non son expoñentes senón que son índices de coordenadas, coeficientes ou unha base. É dicir, neste contexto Modelo:Math debería entenderse como o segundo compoñente de Modelo:Math en lugar do cadrado de Modelo:Math (isto pode ocasionalmente levar á ambigüidade). A posición superior do índice en Modelo:Math débese a que, normalmente, un índice aparece unha vez nunha posición superior (superíndice) e unha vez nunha posición inferior (subíndice) nun mesmo termo. (Consulte Modelo:Section link a continuación). Normalmente, Modelo:Math sería equivalente ao tradicional Modelo:Math.

Na relatividade xeral, unha convención común é que

o alfabeto grego úsase para os compoñentes do espazo e do tempo, onde os índices toman valores 0, 1, 2 ou 3 (as letras de uso frecuente son Modelo:Math),
o alfabeto latino úsase só para compoñentes espaciais, onde os índices toman valores 1, 2 ou 3 (as letras de uso frecuente son Modelo:Math),

En xeral, os índices poden variar en calquera conxunto de indexación, incluíndo un conxunto infinito. Isto non debe confundirse con outra convención tipográficamente similar usada para distinguir entre a notación de índice tensor e a notación de índice abstracta moi relacionada pero independente da base.

Un índice que se suma é un índice de suma, neste caso o "Modelo:Math". Tamén se lle chama variábel vinculada ou índice ficticio xa que calquera símbolo pode substituír o "Modelo:Math" sen mudar o significado da expresión (sempre que non choque con outros símbolos de índice no mesmo termo).

Un índice que non se suma é unha variábel libre ou índice libre e só debe aparecer unha vez por termo. Se tal índice aparece, normalmente tamén aparece en calquera outro termo nunha ecuación. Un exemplo de índice libre é o "Modelo:Math" na ecuación $v_{i} = a_{i} b_{j} x^{j}$ , que é equivalente á ecuación $v_{i} = \sum_{j} (a_{i} b_{j} x^{j})$ .

Aplicación

A notación de Einstein pódese aplicar de xeitos lixeiramente diferentes. Normalmente, cada índice aparece unha vez nunha posición superior (superíndice) e unha vez nunha posición inferior (subíndice) nun termo; porén, a convención pódese aplicar de forma máis xeral a calquera índice repetido dentro dun termo.^[2]

Cando se trata de vectores covariantes e contravariantes, onde a posición dun índice indica o tipo de vector, adoita aplicarse o primeiro caso; un vector covariante só se pode contraer cun vector contravariante correspondente á suma dos produtos dos coeficientes. Por outra banda, cando hai unha base de coordenadas fixa (ou cando non se consideran vectores de coordenadas), pódese optar por usar só subíndices; consulte Modelo:Section link a continuación.

Representacións vectoriais

Superíndices e subíndices fronte a só subíndices

En termos de covarianza e contravarianza de vectores,

os índices superiores representan compoñentes de vectores contravariantes (vectores),
os subíndices representan compoñentes de vectores covariantes (covectores).

Transfórmanse de forma contravariante ou covariante, respectivamente, en relación ao cambio de base.

En recoñecemento deste feito, a seguinte notación usa o mesmo símbolo tanto para un vector ou covector como para os seus compoñentes, como en:

\begin{matrix} v = v^{i} e_{i} = [\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} v^{1} \\ v^{2} \\ ⋮ \\ v^{n} \end{matrix}] \\ w = w_{i} e^{i} = [\begin{matrix} w_{1} & w_{2} & \dots & w_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} e^{1} \\ e^{2} \\ ⋮ \\ e^{n} \end{matrix}] \end{matrix}

onde $v$ é o vector e $v^{i}$ son os seus compoñentes (non o $i$ -ésimo covector $v$ ), $w$ é o covector e $w_{i}$ son os seus compoñentes. Os elementos vectores da base $e_{i}$ son vectores de cada columna, e os elementos da base de covectores $e^{i}$ son covectores de cada fila. (Consulte tamén a continuación Modelo:Slink. Tamén dualidade e os exemplos).

Na presenza dunha forma non dexenerada (un isomorfismo $V \to V^{*}$ , por exemplo unha métrica de Riemann ou métrica de Minkowski), pódense subir e baixar índices.

Cando se traballa en Modelo:Math cunha métrica euclidiana e unha base ortonormal fixa, temos a opción de traballar só con subíndices.

Porén, se mudan as coordenadas, a forma en que mudan os coeficientes depende da varianza do obxecto, e non se pode ignorar a distinción; ver Covarianza e contravarianza de vectores.

Repaso dos usos

No exemplo anterior, os vectores represéntanse como matrices Modelo:Math (vectores columna), mentres que os covectores represéntanse como matrices Modelo:Math (covectores fila).

Cando se usa a convención do vector columna:

Os covectores son vectores filas:

[\begin{matrix} w_{1} & \dots & w_{k} \end{matrix}] .

Polo tanto o índice inferior indica en que "columna" estás.

Os vectores contravariantes son vectores columna:

[\begin{matrix} v^{1} \\ ⋮ \\ v^{k} \end{matrix}]

Polo tanto o índice superior indica en que fila estás.

Descrición abstracta

A virtude da notación de Einstein é que representa as cantidades invariantes cunha notación simple.

En física, un escalar é invariante baixo transformacións da base. En particular, un escalar de Lorentz é invariante baixo unha transformación de Lorentz. Os termos individuais da suma non o son. Cando se muda de base, os compoñentes dun vector mudan por unha transformación linear descrita por unha matriz. Isto levou a Einstein a propoñer a convención de que os índices repetidos implican que hai que facer a suma.

En canto aos covectores, mudan pola matriz inversa. Isto está deseñado para garantir que a función linear asociada ao covector, a suma anterior, sexa a mesma sen importar cal sexa a base.

O valor da convención de Einstein é que se aplica a outros espazos vectoriais construídos a partir de Modelo:Math usando o produto tensorial e a dualidade. Por exemplo, $V \otimes V$ , o produto tensor de Modelo:Math consigo mesmo, ten unha base formada por tensores da forma $𝐞_{i j} = 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j}$ . Calquera tensor Modelo:Math en $V \otimes V$ pódese escribir como:

𝐓 = T^{i j} 𝐞_{i j} .

$V^{*}$ , o dual de $V$ , ten unha base Modelo:Math, Modelo:Math, ..., Modelo:Math que obedece a regra

𝐞^{i} (𝐞_{j}) = δ_{j}^{i} .

onde Modelo:Math é o delta de Kronecker (valor un cando coinciden os índices e cero no resto de casos).

Como

Hom (V, W) = V^{*} \otimes W

as coordenadas da fila/columna nunha matriz corresponden aos índices superior/inferior do produto tensor.

Operacións comúns nesta notación

Na notación de Einstein, a referencia habitual do elemento $A_{m n}$ para a fila $m$ e a columna $n$ da matriz $A$ pasa a ser $A_{n}^{m}$ . Móstrase a continuación como escribir varias operacións frecuentes en notación de Einstein.

Produto interno

O produto interno de dous vectores é a suma dos produtos dos seus compoñentes do mesmo índice, cos índices dun vector baixados (ver #Subir e baixar índices):

⟨ 𝐮, 𝐯 ⟩ = ⟨ 𝐞_{i}, 𝐞_{j} ⟩ u^{i} v^{j} = u_{j} v^{j}

No caso dunha base ortonormal, temos $u^{j} = u_{j}$ , e a expresión simplifícase a:

⟨ 𝐮, 𝐯 ⟩ = \sum_{j} u^{j} v^{j} = u_{j} v^{j}

Produto vectorial

En tres dimensións, o produto vectorial de dous vectores en relación a unha base ortonormal orientada positivamente, o que significa que $𝐞_{1} \times 𝐞_{2} = 𝐞_{3}$ , pódese expresar como:

𝐮 \times 𝐯 = ε_{j k}^{i} u^{j} v^{k} 𝐞_{i}

Aquí, $ε_{j k}^{i} = ε_{i j k}$ é o símbolo de Levi-Civita. Dado que a base é ortonormal, subir o índice $i$ non altera o valor de $ε_{i j k}$ , cando se trata como tensor.

Multiplicación matriz-vector

O produto dunha matriz Modelo:Math por un vector columna Modelo:Math é:

𝐮_{i} = (𝐀 𝐯)_{i} = \sum_{j = 1}^{N} A_{i j} v_{j}

equivalente a

u^{i} = A_{j}^{i} v^{j}

Este é un caso paticular de multiplicación matricial.

Multiplicación matricial

O produto matricial de dúas matrices Modelo:Math e Modelo:Math é:

𝐂_{i k} = (𝐀 𝐁)_{i k} = \sum_{j = 1}^{N} A_{i j} B_{j k}

equivalente a

C_{k}^{i} = A_{j}^{i} B_{k}^{j}

.

Traza

Para unha matriz cadrada $A_{j}^{i}$ , a traza é a suma dos elementos diagonais, polo tanto, a suma sobre un índice común $A_{i}^{i}$ .

Produto exterior

O produto exterior do vector columna Modelo:Math polo vector fila Modelo:Math dá unha matriz Modelo:Math Modelo:Math:

A_{j}^{i} = u^{i} v_{j} = (u v)_{j}^{i}

Dado que Modelo:Math e Modelo:Math representan dous índices diferentes, non hai sumatorio e os índices non se eliminan pola multiplicación.

Subir e baixar índices

Dado un tensor, pódense subir ou baixar un índice contraendo o tensor co tensor métrico, Modelo:Math. Por exemplo, se temos o tensor Modelo:Math, pódese baixar un índice:

g_{μ σ} T_{β}^{σ} = T_{μ β}

,

ou pódese elevar un índice:

g^{μ σ} T_{σ}^{α} = T^{μ α}

.

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Modelo:Springer.

Outros artigos

Ligazóns externas

Modelo:Control de autoridades

[Ein1916-1] Modelo:Cita revista

[wolfram-2] Modelo:Cita web

[1]

[2]

Notación de Einstein

Índice

Introdución

Enunciado da convención

Aplicación

Representacións vectoriais

Superíndices e subíndices fronte a só subíndices

Repaso dos usos

Descrición abstracta

Operacións comúns nesta notación

Produto interno

Produto vectorial

Multiplicación matriz-vector

Multiplicación matricial

Traza

Produto exterior

Subir e baixar índices

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Menú de navegación

Notación de Einstein

Introdución

Enunciado da convención

Aplicación

Representacións vectoriais

Superíndices e subíndices fronte a só subíndices

Repaso dos usos

Descrición abstracta

Operacións comúns nesta notación

Produto interno

Produto vectorial

Multiplicación matriz-vector

Multiplicación matricial

Traza

Produto exterior

Subir e baixar índices

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Menú de navegación

Procura