Produto de Hadamard

O produto de Hadamard opera sobre matrices de forma idéntica e produce unha terceira matriz das mesmas dimensións.

En matemáticas, o produto de Hadamard (tamén coñecido como produto elemento a elemento ou produto de Schur) é unha operación binaria que toma dúas matrices das mesmas dimensións e devolve unha matriz dos elementos correspondentes multiplicados. Esta operación pódese pensar como unha "multiplicación matricial inxenua" e é diferente do produto matricial. Atribúese e recibe o nome do matemático francés Jacques Hadamard ou do matemático ruso-alemán Issai Schur.

O produto de Hadamard é asociativo e distributivo. A diferenza do produto matricial, tamén é conmutativo.

Definición

Para dúas matrices Modelo:Math e Modelo:Math da mesma dimensión Modelo:Math, o produto de Hadamard $A\odot B$ (ás veces $A\circ B$) é unha matriz da mesma dimensión que os operandos, con elementos dados por

$(A\odot B{)}_{ij}=(A{)}_{ij}(B{)}_{ij}.$

Para matrices de diferentes dimensións ( Modelo:Math e Modelo:Math, onde Modelo:Math ou Modelo:Math ), o produto de Hadamard non está definido.

Por exemplo, o produto Hadamard para dúas matrices arbitrarias de 2 × 3 sería:

$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 8& -2\end{array}\right]\circ \left[\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 7& 9& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\times 3& 3\times 1& 1\times 4\\ 0\times 7& 8\times 9& -2\times 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 4\\ 0& 72& -10\end{array}\right]$

Teorema do produto de Schur

Modelo:Main O produto de Hadamard de dúas matrices positivas-semidefinidas é positiva-semidefinida. Isto coñécese como o teorema do produto de Schur. Para dúas matrices positivas-semidefinidas Modelo:Mvar e Modelo:Mvar, tamén se sabe que o determinante do seu produto de Hadamard é maior ou igual ao produto dos seus respectivos determinantes:

$\det (A\odot B)\ge \det (A)\det (B).$

Aplicacións

O produto Hadamard aparece en algoritmos de compresión con perdas como JPEG. O paso de decodificación implica un produto de elemento por elemento, noutras palabras, o produto Hadamard.

Tamén se usa para estudar as propiedades estatísticas de vectores aleatorios e matrices.

Véxase tamén

Outros artigos

• Punto a punto

Ligazóns externas

• Hadamard Products of Linear Spaces (ArXiv).