Característica (álxebra)

En matemáticas, a característica dun anel Modelo:Math, a miúdo denotado Modelo:Math, defínese como o menor número positivo de copias da identidade multiplicativa do anel (Modelo:Math) que dará como resultado a identidade aditiva (Modelo:Math). Se non existe tal número, dise que o anel ten a característica cero.

É dicir, Modelo:Math é o menor número positivo Modelo:Math tal que: (p 198, Thm. 23.14)

$\underset{n\text{ sumandos}}{\underbrace{1+\cdots +1}}=0$

se existe tal número Modelo:Math, e Modelo:Math en caso contrario.

Caracterizacións equivalentes

• A característica dun anel Modelo:Math é o número natural Modelo:Math tal que Modelo:Math é o kernel do único homomorfismo de aneis de $\mathbb{Z}$ a Modelo:Math.Modelo:Efn
• A característica é o número natural Modelo:Math tal que Modelo:Math contén un subanel isomorfo ao anel cociente $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, que é a imaxe do homomorfismo anterior.
• Cando os enteiros non negativos Modelo:Math están parcialmente ordenados por divisibilidade, entón Modelo:Math é o máis pequeno e Modelo:Math é o maior. Entón a característica dun anel é o menor valor de Modelo:Math para o cal Modelo:Math. Se nada "menor" (nesta orde onde 0 é o maior) que Modelo:Math dá resultado, entón a característica é Modelo:Math. Esta é a ordenación parcial apropiada debido a feitos como que Modelo:Math é o mínimo común múltiplo de Modelo:Math e Modelo:Math, e que non hai homomorfismo de aneis Modelo:Math que exista a menos que Modelo:Math divida Modelo:Math.
• A característica dun anel Modelo:Math é Modelo:Math precisamente se a afirmación Modelo:Math para todo Modelo:Math implica que Modelo:Math é múltiplo de Modelo:Math.

Caso de aneis

Se Modelo:Math e Modelo:Math son aneis e existe un homomorfismo de aneis Modelo:Math, entón a característica de Modelo:Math divide a característica de Modelo:Math. Isto ás veces pódese usar para excluír a posibilidade de certos homomorfismos de aneis. O único anel coa característica Modelo:Math é o anel cero, que ten só un elemento Modelo:Math. Se un anel non trivial Modelo:Math non ten ningún divisor de cero non trivial, entón a súa característica é Modelo:Math ou primo. En particular, isto aplícase a todos os corpos, a todos os dominios de integridade e a todos os aneis de división. Calquera anel de característica Modelo:Math é infinito.

O anel $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ dos enteiros módulo Modelo:Math ten característica Modelo:Math. Se Modelo:Math é un subanel de Modelo:Math, entón Modelo:Math e Modelo:Math teñen a mesma característica. Por exemplo, se Modelo:Math é primo e Modelo:Math é un polinomio irredutíbel con coeficientes no corpo ${𝔽}_p$ con Modelo:Mvar elementos, entón o anel cociente ${𝔽}_p[X]/(q(X))$ é un corpo de característica Modelo:Math. Outro exemplo: O corpo $ℂ$ de números complexos contén $\mathbb{Z}$, polo que a característica de $ℂ$ é Modelo:Math.

Unha $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ -álxebra é equivalentemente un anel cuxa característica divide Modelo:Math. Isto débese a que para cada anel Modelo:Math hai un homomorfismo de aneis $\mathbb{Z}\to R$, e este mapa factoriza en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ se e só se a característica de Modelo:Math divide Modelo:Math. Neste caso, para calquera Modelo:Math do anel, engadir Modelo:Math a si mesmo Modelo:Math veces dá Modelo:Math.

Se un anel conmutativo Modelo:Math ten a característica de Modelo:Math primo, entón temos $(x+y{)}^p=x^p+y^p$ para todos os elementos Modelo:Math e Modelo:Math en Modelo:Math, cúmprese para a potencia Modelo:Math, así cúmprese o "soño de primeiro ano" (freshman's dream en inglés) que normalmente é incorrecto. O mapa $x\to x^p$ define logo un homomorfismo de aneis Modelo:Math, que se chama homomorfismo de Frobenius. Se Modelo:Math é un dominio de integraidade é inxectivo.

Caso dos corpos

Como se mencionou anteriormente, a característica de calquera corpo é Modelo:Math ou un número primo. Un corpo de característica distinta de cero chámase corpo de característica finita ou característica positiva ou característica prima. O expoñente característico defínese de xeito similar, excepto que é igual a Modelo:Math cando a característica é Modelo:Math; en caso contrario ten o mesmo valor que a característica.Modelo:Rp

Calquera corpo Modelo:Math ten un subcorpo mínimo único, tamén chamado subcorpo primo. Este subcorpo é isomorfo ao corpo dos números racionais $\mathbb{Q}$ (cando ten característica cero) ou a un corpo finito ${𝔽}_p$ de orde prima. Dous corpos primos da mesma característica son isomorfos, e este isomorfismo é único. Noutras palabras, hai esencialmente un corpo primo único en cada característica.

Corpos de característica cero

Os corpos máis comúns de característica cero son os subcorpos dos números complexos. Tamén os corpos p-ádicos son corpos de característica cero que se usan amplamente na teoría de números.

Para calquera corpo ordenado, como o corpo dos números racionais $\mathbb{Q}$ ou o corpo dos números reais $ℝ$, a característica é Modelo:Math. Así, todo corpo numérico alxébrico e o corpo de números complexos $ℂ$ son de característica cero.

Corpos de característica prima

O corpo finito Modelo:Math ten característica Modelo:Math.

Existen infinitos corpo de característica prima. Por exemplo, o corpo de todas as funcións racionais $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, o peche alxébrico de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ou o corpo das series formais de Laurent $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}((T))$.

O tamaño de calquera anel finito de característica prima Modelo:Math é unha potencia de Modelo:Math. Xa que nese caso contén $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ e tamén é un espazo vectorial sobre ese corpo, e pola álxebra linear sabemos que os tamaños dos espazos vectoriais finitos sobre corpos finitos son unha potencia do tamaño do corpo. Isto tamén mostra que o tamaño de calquera espazo vectorial finito é unha potencia prima.Modelo:Efn

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cite book

Outros artigos

• Anel (álxebra).
• Corpo finito.