Número oblongo

Un número oblongo é un número que é o produto de dous enteiros consecutivos, é dicir, un número da forma $n(n+1)$. O estudo destes números remóntase a Aristóteles . Tamén se lles chama números prónicos, porén, o termo "número rectangular" tamén se aplicou aos números compostos.

Os primeiros números oblongos son:

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272 Modelo:OEIS 306, 342, 342, 42, 60, 42, 42, 42 … .Correspóndense co duplo dos números triangulares.

Como números figurados

Dúas veces un número triangular é un número rectangular ou oblongo.

O Modelo:Mvar-ésimo número oblongo é Modelo:Mvar máis que o Modelo:Mvar- ésimo número cadrado.

Os números oblongos foron estudados como números figurados xunto cos números triangulares e os números cadrados na Metafísica de Aristóteles, e o seu descubrimento foi atribuído moito antes aos pitagóricos. Os números oblongos son análogos aos números poligonais deste xeito:

O Modelo:Mvar-ésimo número oblongo é a suma dos primeiros Modelo:Mvar números enteiros pares, e como tal é o duplo do Modelo:Mvar -ésimo número triangular e Modelo:Mvar máis que o Modelo:Mvar ésimo número cadrado, tal e como dá a fórmula alternativa Modelo:Math para números oblongos. Polo tanto, o Modelo:Mvar-ésimo número oblongo e o Modelo:Mvar-ésimo número cadrado (a suma dos [[Cadrado perfecto|primeiros Modelo:Mvar números enteiros impares]]) forman unha razón superparticular :

$\frac{n(n+1)}{n^2}=\frac{n+1}{n}$

Suma de números oblongos

A suma parcial dos primeiros Modelo:Mvar números oblongos positivos é o duplo do valor do Modelo:Mvar-ésimo número tetraédrico:

$\sum _{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=2T_n$ .

A suma dos recíprocos dos números oblongos positivos (excluíndo 0) é unha serie telescópica que suma 1:

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}\cdots =1$ .

A suma parcial dos primeiros Modelo:Mvar termos desta serie é

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}=\frac{n}{n+1}$ .

A suma alterna dos recíprocos dos números oblongos positivos (excluíndo 0) é unha serie converxente:

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{i+1}}{i(i+1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{12}-\frac{1}{20}\cdots =\log (4)-1$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número triangular.
• Número figurado.
• Serie telescópica.