Suma de matrices

Ilustración da adición de dúas matrices .

En matemáticas, a suma de matrices é a operación entre matrices que se realiza sumando os elementos que están nas mesmas posicións.

Para un vector, $\overrightarrow{v}$, engadir dúas matrices tería o efecto xeométrico de aplicar cada transformación matricial por separado $\overrightarrow{v}$, engadindo despois os vectores transformados.

$𝐀\overrightarrow{v}+𝐁\overrightarrow{v}=(𝐀+𝐁)\overrightarrow{v}$

No entanto, hai outras operacións que tamén se poden considerar sumas para matrices, como a suma directa e a suma de Kronecker.

Suma

Dúas matrices deben ter un número igual de filas e columnas para engadir. Nese caso, a suma de dúas matrices A e B será unha matriz que teña o mesmo número de filas e columnas que A e B. A suma de A e B, denotada Modelo:Nowrap, calcúlase sumando os elementos cos mesmos subíndices de A e B: Modelo:Sfn Modelo:Sfn

$\begin{array}{cc}𝐀+𝐁& =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right]\\ \end{array}$

Ou de forma máis concisa, se temos Modelo:Nowrap:

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

Por exemplo:

$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 7& 5\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+0& 3+0\\ 1+7& 0+5\\ 1+2& 2+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 8& 5\\ 3& 3\end{array}\right]$

Suma directa

Outra operación, que se usa con menos frecuencia, é a suma directa (indicada por ⊕). A suma de Kronecker tamén se denota ⊕; o contexto debe deixar claro o uso. A suma directa de calquera par de matrices A de tamaño m × n e B de tamaño p × q é unha matriz de tamaño ( m + p ) × ( n + q ) definida como: Modelo:Sfn

$𝐀\oplus 𝐁=\left[\begin{array}{cc}𝐀& 0\\ 0& 𝐁\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& b_{11}& \cdots & b_{1q}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& b_{p1}& \cdots & b_{pq}\end{array}\right]$

Por exemplo,

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right]\oplus \left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 0& 0\\ 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 6\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

A suma directa de matrices é un tipo especial de matriz de bloques. En particular, a suma directa das matrices cadradas é unha matriz diagonal de bloques.

En xeral, a suma directa de n matrices é: Modelo:Sfn

$\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{𝐀}_i=\mathrm{diag}({𝐀}_1,{𝐀}_2,{𝐀}_3,\dots ,{𝐀}_n)=\left[\begin{array}{cccc}{𝐀}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {𝐀}_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {𝐀}_n\end{array}\right]$

onde os ceros son realmente bloques de ceros (é dicir, matrices cero).

Suma de Kronecker

A suma de Kronecker é diferente da suma directa, mais tamén se denota por ⊕. Defínese usando o produto de Kronecker ⊗ e a suma matricial normal. Se A é $a\times a$, B é $b\times b$ e ${𝐈}_n$ denota a matriz de identidade de orde $n$, entón a suma de Kronecker defínese por:

$𝐀\oplus 𝐁=𝐀\otimes {𝐈}_b+{𝐈}_a\otimes 𝐁.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Produto de matrices.
• Matriz (matemáticas).

Ligazóns externas

• Modelo:PlanetMath
• Abstract nonsense: Direct Sum of Linear Transformations and Direct Sum of Matrices
• Mathematics Source Library: Arithmetic Matrix Operations Modelo:Webarchive
• Matrix Algebra and R