Espazo de medida

Un espazo de medida é un obxecto básico da teoría da medida, unha rama das matemáticas que estuda as nocións xeneralizadas de volumes. Contén un conxunto subxacente, os subconxuntos deste conxunto que son factíbeis para medir (a [[Sigma-álxebra|Modelo:Mvar-álxebra]] ) e o método que se usa para medir (a medida). Un exemplo importante de espazo de medida é un espazo de probabilidade.

Un espazo medíbel consta dos dous primeiros compoñentes sen unha medida específica.

Definición

Un espazo de medida é unha terna $(X,𝒜,\mu ),$ onde

• $X$ é un conxunto
• $𝒜$ é unha [[Sigma-álxebra|Modelo:Mvar-álxebra]] no conxunto $X$
• $\mu$ é unha medida en $(X,𝒜)$

Noutras palabras, un espazo de medida consiste nun espazo medíbel $(X,𝒜)$ xunto cunha medida sobre el.

Exemplo

Sexa $X=\{0,1\}$. A $\sigma$-álxebra en conxuntos finitos como o anterior adoita ser o conxunto de partes, que é o conxunto de todos os subconxuntos (dun conxunto dado) e denotado por $\mathrm{\wp }(\cdot ).$ Seguindo esta convención, estabelecemos $$𝒜=\mathrm{\wp }(X)$$

Neste caso sinxelo, o conxunto de partes (ou conxunto potencia) pode escribirse de forma explícita: $$\mathrm{\wp }(X)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.$$

Como medida, definimos $\mu$ por $$\mu (\{0\})=\mu (\{1\})=\frac{1}{2},$$ así $\mu (X)=1$ (por adición de medidas) e $\mu (\varnothing )=0$ (por definición de medidas).

Isto leva ao espazo de medida $(X,\mathrm{\wp }(X),\mu ).$ É un espazo de probabilidade, xa que $\mu (X)=1.$ A medida $\mu$ corresponde á distribución de Bernoulli con $p=\frac{1}{2},$ que se usa, por exemplo, para modelar unha moeda xusta.

Clases importantes de espazos de medida

As clases máis importantes de espazos de medidas defínense polas propiedades das súas medidas asociadas. Isto inclúe, por orde de xeneralidade crecente:

• Espazos de probabilidade, un espazo de medida onde a medida é unha medida de probabilidade
• Espazos de medidas finitas, onde a medida é unha medida finita
• $\sigma$-espazos de medidas finitas, onde a medida é a $\sigma$-medida finita

Outra clase de espazos de medida son os espazos de medida completa.

Véxase tamén

Outros artigos

• Espazo medíbel.
• Teoría da medida.

Ligazóns externas

• Measure_space.