Función medible

De testwiki
Revisión feita o 13 de setembro de 2024 ás 11:12 por imported>InternetArchiveBot (Engade 2 libros para verificar (20240912)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot)
(dif) ← Revisión máis antiga | Revisión actual (dif) | Revisión máis nova → (dif)
Saltar á navegación Saltar á procura

En matemáticas, e en particular na teoría da medida, unha función medible é unha función entre os conxuntos subxacentes de dous espazos medíbeis que preserva a estrutura dos espazos: a preimaxe de calquera conxunto medíbel é medíbel. Isto é en analoxía directa coa definición de que unha función continua entre espazos topolóxicos preserva a estrutura topolóxica: a preimaxe de calquera conxunto aberto é aberto. Na análise real, utilízanse funcións medíbeis na definición da integral de Lebesgue. Na teoría da probabilidade, unha función medíbel nun espazo de probabilidade coñécese como variábel aleatoria.

Definición

Imos mostrar dúas defincións de función medíbel, unha delas máis usada na Teoría da medida e outra de uso máis frecuente na Teoría da probabilidade:

  • Sexan os espazos medíbeis (X,Σ) e (Y,T), significando que X e Y son conxuntos equipados con cadansúa σ-álxebras Σ e T. Unha función f:X→Y dise medíbel se para todo E∈T a preimaxe de E baixo f está en Σ; isto é, para todo E∈T temos f−1(E):={x∈X∣f(x)∈E}∈Σ.[1]
  • Consideremos o espazo medible (X,Σ). Sexan E⊂X e f:E→ℝ‾ (onde ℝ‾ é a recta real estendida). Dicimos que f é medible en E se {x∈E : f(x)>α}∈Σ para todo α∈ℝ. [1]

Función característica dun conxunto

Dado E∈Σ, a función indicadora ou función característica de E é a seguinte función medibleχE : x∈X→χE(x)={1, x∈E,0, x∉E.En efecto, dado α∈ℝ temos que{x∈E : χE(x)>α}={X,α<0,E,0≤α≤1,∅,α≥1,e nos tres casos obtemos un conxunto pertencente á σ-álxebra.

Propiedades das funcións medibles

  • Consideremos E∈Σ e f :E→ℝ‾ unha función medible. Para cada E0⊂E con E0∈Σ temos que a restricción de f a E0 é medible en E0.
  • Consideremos unha colección numerable de conxuntos medibles {En}n∈ℕ⊂Σ e f unha función medible en cada En, n∈ℕ. Temos que f é medible no conxunto ⋃n∈ℕEn.
  • Unha función f:E→ℝ‾, con E∈Σ un conxunto medible, é medible se, e só se, f−1(G)∈Σ para cada G⊂ℝ aberto e, ademais, f−1(∞), f−1(−∞)∈Σ.
  • Dadas f,g : E→ℝ‾ con E∈Σ un conxunto medible, tamén serán funcións medibles f±g, αf, f2, |f|, fg, con α∈ℝ.

Propiedades das funcións características

  • χ∅=0,χX=1.
  • Se E1⊂E2, entón χE1≤χE2.
  • χE1∩E2=χE1⋅χE2
  • χE1∪E2=χE1+χE2−χE1∩E2.
  • χEc=1−χE.
  • χE1∖E2=χE1−χE1∩E2.

Definición de función simple e función simple medible

Dado un subconxunto E⊂X, dicimos que unha función f:E→ℝ é unha función simple se existen

  • Unha colección de conxuntos {Ek}k=1n⊂X disxuntos dous a dous cuxa unión coincida co conxunto E,
  • Unha colección de escalares {αk}k=1n⊂ℝ,

de maneira que f(x)=∑k=1nαkχEk(x).Se, considerando agora o espazo medible (X,Σ), temos que E∈Σ e a colección de conxuntos é tal que {Ek}k=1n⊂Σ, entón a función f:E→ℝ chamarase función simple medible.

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Modelo:Control de autoridades

  1. ↑ 1,0 1,1 Modelo:Cita web
Obtido de «https://gl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Función_medible&oldid=1530»