Recta real estendida

Números reais estendidos: a) Números reais estendidos afinmente e b) Números reais estendidos proxectivamente

En matemáticas, o sistema de números reais estendido obtense a partir do sistema de números reais $ℝ$ engadindo dous elementos infinitos: $+\mathrm{\infty }$ e $-\mathrm{\infty },$ Modelo:Efn onde os infinitos son tratados como números reais. É útil para describir a álxebra sobre infinitos e os distintos comportamentos limitantes en cálculo e análise matemática, especialmente na teoría da medida e da integración. Denotase o sistema de números reais estendidos $\overline{ℝ}$ ou $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ ou Modelo:Nowrap É o completamento de Dedekind–MacNeille dos números reais.

Cando o significado é claro polo contexto, o símbolo $+\mathrm{\infty }$ adoita escribirse simplemente como Modelo:Nowrap

Tamén está a recta real estendida proxectivamente onde $+\mathrm{\infty }$ e $-\mathrm{\infty }$ non se distinguen polo que o infinito denotase só por $\mathrm{\infty }$ .

Motivación

Límites

Moitas veces é útil describir o comportamento dunha función $f$ cando o argumento $x$ ou o valor da función $f$ faise "infinitamente grande" nalgún sentido. Por exemplo, considere a función $f$ definido por

$f(x)=\frac{1}{x^2}.$

A gráfica desta función ten unha asíntota horizontal en $y=0.$ Xeométricamente, ao moverse cada vez máis á dereita ao longo do eixo $x$, o valor de $1/x^2$ achégase a Modelo:Math. Este comportamento limitante é semellante ao límite dunha función $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ no que o número real $x$ aproxima a $x_0,$ agás que non hai un número real ao que $x$ se aproxime.

Ao engadir os elementos $+\mathrm{\infty }$ e $-\mathrm{\infty }$ a $ℝ,$ isto permite a formulación dun "límite ao infinito", con propiedades topolóxicas similares ás de $ℝ.$

Para facer as cousas completamente formais, a definición de secuencias de Cauchy en $ℝ$ permite definir $+\mathrm{\infty }$ como o conxunto de todas as secuencias $(a_n)$ de números racionais tal que cada $M\in ℝ$ está asociado cun correspondente $N\in \mathbb{N}$ para o cal $a_n>M$ para todos $n>N.$ A definición de $-\mathrm{\infty }$ pódese construír de xeito similar.

Medida e integración

Na teoría da medida, adoita ser útil permitir conxuntos que teñen unha medida infinita e integrais cuxo valor pode ser infinito.

Esas medidas xorden naturalmente do cálculo. Por exemplo, ao asignar unha medida a $ℝ$ que concorde coa lonxitude habitual dos intervalos, esta medida debe ser maior que calquera número real finito. Ademais, ao considerar integrais impropias, como

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x}$

xorde o valor "infinito". Finalmente, adoita ser útil considerar o límite dunha secuencia de funcións, por exemplo

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}2n(1-nx),& \text{if }0\le x\le \frac{1}{n}\\ 0,& \text{if }\frac{1}{n}<x\le 1\end{array}$

Sen permitir que as funcións tomen valores infinitos, resultados tan esenciais como o teorema da converxencia monótona e o teorema da converxencia dominada non terían sentido.

Operacións aritméticas

As operacións aritméticas de $ℝ$ pódense estender parcialmente a $\overline{ℝ}$ do seguinte xeito:

$$\begin{array}{cccc}a\pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }+a& =\pm \mathrm{\infty },& a& \ne \mp \mathrm{\infty }\\ a\cdot (\pm \mathrm{\infty })=\pm \mathrm{\infty }\cdot a& =\pm \mathrm{\infty },& a& \in (0,+\mathrm{\infty }]\\ a\cdot (\pm \mathrm{\infty })=\pm \mathrm{\infty }\cdot a& =\mp \mathrm{\infty },& a& \in [-\mathrm{\infty },0)\\ \frac{a}{\pm \mathrm{\infty }}& =0,& a& \in ℝ\\ \frac{\pm \mathrm{\infty }}{a}& =\pm \mathrm{\infty },& a& \in (0,+\mathrm{\infty })\\ \frac{\pm \mathrm{\infty }}{a}& =\mp \mathrm{\infty },& a& \in (-\mathrm{\infty },0)\end{array}$$

As expresións $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0\times (\pm \mathrm{\infty })$ e $\pm \mathrm{\infty }/\pm \mathrm{\infty }$ (chamadas formas indeterminadas ) adoitan quedar sen definir. Estas regras están modeladas nas leis de límites infinitos. Non obstante, no contexto da teoría da probabilidade ou da medida, $0\times \pm \mathrm{\infty }$ a miúdo defínese como Modelo:Nowrap

Varios

Varias funcións pódense estender con continuidade a $\overline{ℝ}$ tomando límites. Por exemplo, pódense definir os puntos extremos das seguintes funcións como:

$\exp (-\mathrm{\infty })=0,$

$\ln (0)=-\mathrm{\infty },$

$\tanh (\pm \mathrm{\infty })=\pm 1,$

$\arctan (\pm \mathrm{\infty })=\pm \frac{\pi }{2}.$

Tamén se poden eliminar algunhas singularidades. Por exemplo, a función $1/x^2$ pódese estender con continuidade a $\overline{ℝ}$ (baixo algunhas definicións de continuidade), estabelecendo o valor en $+\mathrm{\infty }$ para $x=0,$ e $0$ para $x=+\mathrm{\infty }$ e $x=-\mathrm{\infty }.$ Por outra banda, a función $1/x$ non se pode estender con continuidade, porque a función se achega a $-\mathrm{\infty }$ cando $x$ aproxima a $0$ dende abaixo, e $+\mathrm{\infty }$ cando $x$ aproxima a $0$ desde arriba, é dicir, a función non converxe ao mesmo valor cando a súa variábel independente tamén se achega ao mesmo elemento do dominio tanto do lado positivo como do negativo.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:MathWorld

Outros artigos

• División por cero.
• Infinito.