Función signo

Función signo $y=\mathrm{sgn}x$

En matemáticas, a función signo é unha función que devolve o signo dun número real. En notación matemática a función signo a miúdo represéntase como $\mathrm{sgn}(x)$.

Definición

A función signo dun número real $x$ é unha función por intervalos que se define como segue: $$\mathrm{sgn}x:=\{\begin{array}{cc}-1& \text{if }x<0,\\ 0& \text{if }x=0,\\ 1& \text{if }x>0.\end{array}$$

Os números con función signo 1 son números positivos.

Os números con función signo -1 son números negativos.

Propiedades

A función signo é discontínua en Modelo:Math.

Calquera número real pódese expresar como o produto do seu valor absoluto e a súa función signo $x=|x|\mathrm{sgn}x.$

Daquela, cando $x$ non é igual a 0 temos $\mathrm{sgn}x=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}$.

Tamén temos:$\mathrm{sgn}{x}^n=(\mathrm{sgn}x{)}^n$.

A función signo é a derivada da función valor absoluto, sen incluír o cero.$\frac{\text{d}|x|}{\text{d}x}=\mathrm{sgn}x\text{ para }x\ne 0.$

A función signo é diferenciable con valor 0 en tódalas partes agás en Modelo:Math.

Outra identidade, usando a función de Heaviside sería $\mathrm{sgn}x=2H(x)-1$.

Signo complexo

A función signo pódese xeneralizar a números complexos como:$$\mathrm{sgn}z=\frac{z}{|z|}$$para calquera número complexo $z$ agás $z=0$. O signo dun número complexo dado $z$ é o punto da circunferencia unitaria do plano complexo que está máis próximo a $z$. Entón, para $z\ne 0$,$\mathrm{sgn}z=e^{i\arg z},$ onde $\arg$ é o argumento do número complexo.

Por razóns de simetría, e para manter unha axeitada xeneralización da función signo nos reais, tamén no dominio complexo adóitase definir, para $z=0,\mathrm{sgn}(0+0i)=0$.

Outra xeneralización da función de signo para expresións reais e complexas é $\text{csgn}$, que se define en función do signo das partes real $\text{Re}(z)$ e imaxinaria $\text{Im}(z)$: $$\mathrm{csgn}z=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>0,\\ -1& \text{if }\mathrm{R}\mathrm{e}(z)<0,\\ \mathrm{sgn}\mathrm{I}\mathrm{m}(z)& \text{if }\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=0\end{array}$$Logo temos (para $z\ne 0$ ):$$\mathrm{csgn}z=\frac{z}{\sqrt{z^2}}=\frac{\sqrt{z^2}}{z}.$$

Véxase tamén

Outros artigos

• Valor absoluto