Argumento (análise complexa)

Un número complexo pode ser visualmente representado como um punto localizado no plano complexo. O valor do ángulo $\phi$ é o argumento do número complexo $z=x+iy$.

Nas matemáticas, o argumento, abreviado como arg, dun número complexo z é o ángulo entre o eixo real positivo no plano complexo e a recta que une z coa orixe deste plano.

Definición

O argumento defínese de dúas formas equivalentes:

• Xeométricamente, na relación do plano complexo, Modelo:Math é o ángulo Modelo:Mvar no eixo real positivo representado polo vector Modelo:Mvar. O valor numérico vén dado polo ángulo en radiáns e é positivo se se mide no sentido antihorario.
• Alxebricamente, un argumento dun número complexo Modelo:Math é calquera valor real $\varphi$ tal que

$z=x+iy=r\cos \varphi +ir\sin \varphi$

para algún Modelo:Mvar real positivo. A unidade Modelo:Mvar é o módulo de Modelo:Mvar, escrito como

$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Os termos amplitude ou fase úsanse ás veces para representar esta igualdade.

Baixo ambas as definicións, pódese ver que o argumento para calquera número complexo distinto de cero ten moitos valores posíbeis: en primeiro lugar, como ángulo xeométrico, é evidente que todas as rotacións da circunferencia non alteran o punto, polo que os ángulos diferentes por un múltiplo enteiro de Modelo:Math radiáns (nunha circunferencia completa) é o mesmo. Así mesmo, a partir da periodicidade do seno e do coseno, a segunda definición tamén ten esta propiedade.

Notación

A notación para o argumento non é universal. Porén, é común denotalo como $\arg (z)$.

Formularios de cálculo

O argumento a partir dun número complexo $z$ pódese obter de varias maneiras, incluíndo:

• Dado $z=a+bi$ (forma rectangular), podemos obter $\arg (z)=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$;
• dado $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$ (forma polar e forma exponencial), temos $\arg (z)=\theta$.
• dado $z=a+bi$ e sabendo que $cos\theta =\frac{a}{|z|}$ e $sen\theta =\frac{b}{|z|}$, onde $|z|$ é a distancia entre $O$ e o punto $Z$ ; procuramos os valores de sen e cos e así atoparemos na táboa trigonométrica que ángulo ten estes valores para seno e coseno.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número complexo.

Ligazóns externas

• argumento-de-um-numero-complexo.

Modelo:Control de autoridades