Series de Eisenstein

As series de Eisenstein, que reciben o nome do matemático alemán Gotthold Eisenstein, son formas modulares particulares con expansións de series infinitas que se poden escribir directamente. Definidas orixinalmente para o grupo modular, as series de Eisenstein pódense xeneralizar na teoría das formas automorfas.

Series de Eisenstein para o grupo modular

A parte real de Modelo:Math en función de Modelo:Mvar no disco unitario. Os números negativos están en negro.

Modelo:Math

Sexa Modelo:Mvar un número complexo con parte imaxinaria estritamente positiva. Definamos a serie holomorfa de Eisenstein Modelo:Math de peso Modelo:Math, onde Modelo:Math é un número enteiro, pola seguinte serie:

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}\frac{1}{(m+n\tau {)}^{2k}}.$

Esta serie converxe absolutamente a unha función holomorfa de Modelo:Mvar no semiplano superior e a súa expansión de Fourier indicada a continuación mostra que se estende a unha función holomorfa en Modelo:Math. É un feito notable que a serie Eisenstein é unha forma modular. De feito, a propiedade clave é a súa covarianza Modelo:Math. Explicitamente se Modelo:Math e Modelo:Math entón

$G_{2k}\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{2k}{G}_{2k}(\tau )$

Nótese que Modelo:Math é necesario para que a serie converxa absolutamente, mentres que Modelo:Math debe ser par, se non, a suma desaparece porque os termos Modelo:Math e Modelo:Math anúlanse. Para Modelo:Math a serie converxe mais non é unha forma modular.

Relación con invariantes modulares

As invariantes modulares Modelo:Math e Modelo:Math dunha curva elíptica veñen dados polas dúas primeiras series de Eisenstein:

$\begin{array}{cc}{g}_2& =60G_4\\ g_3& =140G_6.\end{array}$

Existen expresións destas dúas funcións en termos das funcións theta.

Relación de recorrencia

Calquera forma modular holomorfa para o grupo modular pódese escribir como un polinomio en Modelo:Math e Modelo:Math. En concreto, a orde superior Modelo:Math pódese escribir en termos de Modelo:Math e Modelo:Math mediante unha relación de recorrencia. Sexa Modelo:Math, polo que, por exemplo, Modelo:Math e Modelo:Math. Daquela o Modelo:Mvar satisfai a relación

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})d_k{d}_{n-k}=\frac{2n+9}{3n+6}{d}_{n+2}$

para todo Modelo:Math . Onde Modelo:Math é o coeficiente binomial.

Os Modelo:Math tamén aparecen na expansión en serie para as funcións elípticas de Weierstrass:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\wp }(z)& =\frac{1}{z^2}+z^2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{d_k{z}^{2k}}{k!}\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k+2}{z}^{2k}.\end{array}$

Series de Fourier

Definimos Modelo:Math, (algúns libros máis antigos definen que Modelo:Mvar como o nome Modelo:Math, mais agora Modelo:Math é o estándar.) Daquela a serie de Fourier da serie de Eisenstein é

$G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{2k-1}(n)q^n)$

onde os coeficientes Modelo:Math están dados por

$\begin{array}{cc}{c}_{2k}& =\frac{(2\pi i{)}^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}\\ & =\frac{-4k}{B_{2k}}=\frac{2}{\zeta (1-2k)}.\end{array}$

Onde Modelo:Math son os números de Bernoulli, Modelo:Math é a función zeta de Riemann e Modelo:Math é a función suma dos divisores. En particular temos

$\begin{array}{cc}{G}_4(\tau )& =\frac{{\pi }^4}{45}(1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(n)q^n)\\ G_6(\tau )& =\frac{2{\pi }^6}{945}(1-504\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_5(n)q^n).\end{array}$

A suma sobre Modelo:Mvar pódese representar como unha serie de Lambert e teríamos

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_a(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^a{q}^n}{1-q^n}$

para complexos arbitrarios Modelo:Math e Modelo:Mvar. Cando se traballa coa [[:en:Q-expansion|Modelo:Mvar-expansión]] da serie de Eisenstein, adoita introducirse esta notación alternativa:

$\begin{array}{cc}{E}_{2k}(\tau )& =\frac{G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}\\ & =1+\frac{2}{\zeta (1-2k)}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{2k-1}{q}^n}{1-q^n}\\ & =1-\frac{4k}{B_{2k}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{2k-1}(n)q^n\\ & =1-\frac{4k}{B_{2k}}\sum _{d,n\ge 1}{n}^{2k-1}{q}^{nd}.\end{array}$

Identidades coa serie de Eisenstein

Como funcións theta

Fonte:

Dado Modelo:Math, temos

$\begin{array}{cc}{E}_4(\tau )& =1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3{q}^n}{1-q^n}\\ E_6(\tau )& =1-504\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^5{q}^n}{1-q^n}\\ E_8(\tau )& =1+480\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^7{q}^n}{1-q^n}\end{array}$

e definimos as funcións theta de Jacobi, que normalmente usan a función nome Modelo:Math,

$\begin{array}{cc}a& ={\theta }_2(0;e^{\pi i\tau })={\vartheta }_{10}(0;\tau )\\ b& ={\theta }_3(0;e^{\pi i\tau })={\vartheta }_{00}(0;\tau )\\ c& ={\theta }_4(0;e^{\pi i\tau })={\vartheta }_{01}(0;\tau )\end{array}$

onde Modelo:Math e Modelo:Math representan notacións alternativas. Entón temos as relacións simétricas,

$\begin{array}{cc}{E}_4(\tau )& =\frac{1}{2}(a^8+b^8+c^8)\\ E_6(\tau )& =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{(a^8+b^8+c^8)}^3-54(abc{)}^8}{2}}\\ E_8(\tau )& =\frac{1}{2}(a^{16}+b^{16}+c^{16})=a^8{b}^8+a^8{c}^8+b^8{c}^8\end{array}$

Unha transformación alxébrica básica implica inmediatamente

$E_4^3-E_6^2=\frac{27}{4}(abc{)}^8$

unha expresión relacionada co discriminante modular,

$\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2=(2\pi {)}^{12}{\left(\frac{1}{2}abc\right)}^8$

Produtos das series de Eisenstein

As series de Eisenstein forman os exemplos máis explícitos de formas modulares para o grupo modular completo Modelo:Math. Dado que o espazo das formas modulares de peso Modelo:Math ten dimensión 1 para Modelo:Math, os diferentes produtos das series de Eisenstein que teñen eses pesos teñen que ser iguais a un múltiplo escalar. De feito, obtemos as identidades:

$E_4^2=E_8,E_4{E}_6=E_{10},E_4{E}_{10}=E_{14},E_6{E}_8=E_{14}.$

Usando as Modelo:Mvar-expansións da serie de Eisenstein indicadas anteriormente, poden ser reformuladas como identidades que implican as sumas de potencias dos divisores:

${(1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(n)q^n)}^2=1+480\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_7(n)q^n,$

polo tanto

${\sigma }_7(n)={\sigma }_3(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}{\sigma }_3(m){\sigma }_3(n-m),$

e do mesmo xeito para os demais. A función theta dunha retícula unimodular par de oito dimensións Modelo:Math é unha forma modular de peso 4 para o grupo modular completo, que dá as seguintes identidades:

${\theta }_{\mathrm{\Gamma }}(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_{\mathrm{\Gamma }}(2n)q^n=E_4(\tau ),r_{\mathrm{\Gamma }}(n)=240{\sigma }_3(n)$

para o número Modelo:Math de vectores de lonxitude cadrada Modelo:Math na retícula raíz do tipo Modelo:Math.

Usando a relación de recorrencia anterior, todos os Modelo:Math superiores poden expresarse como polinomios en Modelo:Math e Modelo:Math . Por exemplo:

$\begin{array}{cc}{E}_8& =E_4^2\\ E_{10}& =E_4\cdot E_6\\ 691\cdot E_{12}& =441\cdot E_4^3+250\cdot E_6^2\\ E_{14}& =E_4^2\cdot E_6\\ 3617\cdot E_{16}& =1617\cdot E_4^4+2000\cdot E_4\cdot E_6^2\\ 43867\cdot E_{18}& =38367\cdot E_4^3\cdot E_6+5500\cdot E_6^3\\ 174611\cdot E_{20}& =53361\cdot E_4^5+121250\cdot E_4^2\cdot E_6^2\\ 77683\cdot E_{22}& =57183\cdot E_4^4\cdot E_6+20500\cdot E_4\cdot E_6^3\\ 236364091\cdot E_{24}& =49679091\cdot E_4^6+176400000\cdot E_4^3\cdot E_6^2+10285000\cdot E_6^4\end{array}$

Moitas relacións entre produtos da serie de Eisenstein pódense escribir dun xeito elegante usando determinantes de Hankel, por exemplo, a identidade de Garvan

${\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{(2\pi {)}^{12}}\right)}^2=-\frac{691}{1728^2\cdot 250}\det \left|\begin{array}{ccc}{E}_4& E_6& E_8\\ E_6& E_8& E_{10}\\ E_8& E_{10}& E_{12}\end{array}\right|$

onde

$\mathrm{\Delta }=(2\pi {)}^{12}\frac{E_4^3-E_6^2}{1728}$

é o discriminante modular.

Identidades de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan deu varias identidades interesantes entre as primeiras series de Eisenstein usando a diferenciación. Sexan

$\begin{array}{cccc}L(q)& =1-24\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{q}^n}{1-q^n}& & =E_2(\tau )\\ M(q)& =1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3{q}^n}{1-q^n}& & =E_4(\tau )\\ N(q)& =1-504\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^5{q}^n}{1-q^n}& & =E_6(\tau ),\end{array}$

daquela

$\begin{array}{cc}q\frac{dL}{dq}& =\frac{L^2-M}{12}\\ q\frac{dM}{dq}& =\frac{LM-N}{3}\\ q\frac{dN}{dq}& =\frac{LN-M^2}{2}.\end{array}$

Estas identidades, como as identidades entre as series, producen identidades de convolución aritméticas que implican a función suma de divisores. Seguindo a Ramanujan, para poñer estas identidades na forma máis simple é necesario estender o dominio de Modelo:Math para incluír o cero, configurando

$\begin{array}{cc}{\sigma }_p(0)=\frac{1}{2}\zeta (-p)⟹\sigma (0)& =-\frac{1}{24}\\ {\sigma }_3(0)& =\frac{1}{240}\\ {\sigma }_5(0)& =-\frac{1}{504}.\end{array}$

Logo, por exemplo

$\sum _{k=0}^n\sigma (k)\sigma (n-k)=\frac{5}{12}{\sigma }_3(n)-\frac{1}{2}n\sigma (n).$

Xeneralizacións

As formas automorfas xeneralizan a idea de formas modulares para os grupos de Lie xenéricos; e as series de Eisenstein xeneralízanse dun xeito similar.

Definindo Modelo:Math como o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico totalmente real Modelo:Mvar, defínese entón o grupo modular de Hilbert–Blumenthal como Modelo:Math. Podemos entón asociar unha serie de Eisenstein a cada cúspide do grupo modular Hilbert–Blumenthal.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro Translated into English as Modelo:Cite book
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro