Polinomios de Bernoulli

Polinomios de Bernoulli

En matemáticas os polinomios de Bernoulli $B_n(x)$ son definidos mediante unha función xeradora exponencial, tal como se expón a continuación:

$\frac{e{t}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}$.

Aparecen no estudo de moitas funcións especiais, en particular da función zeta de Riemann e da función zeta de Hurwitz. Os números de Bernoulli $b_n$ (normalmente expresados como $B_n$ e escritos aquí con minúscula para distinguilos dos polinomios) son os termos independentes dos polinomios correspondentes, $b_n=B_n(0)$.

A identidade $B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^k$ expón unha forma pechada da suma dos Modelo:Mvar primeiros números enteiros positivos elevados a unha potencia Modelo:Mvar,

$\sum _{i=1}^n{i}^k=1^k+2^k+\cdots +n^k=\frac{B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}$.

Un conxunto similar de polinomios, baseado nunha función xeradora, é a familia de polinomios de Euler. Neste artigo mencionaremos propiedades e fórmulas para ambas as dúas familias.

Representacións

Funcións xeradoras exponenciais

A funcións xeradora para os polinomios de Bernoulli é

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

E para os polinomios de Euler é

$\frac{2e^{xt}}{e^t+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Fórmula explícita

Para os polinomios de Bernoulli $B_n(x)$ e mais Euler $E_n(x)$ respectivamente, temos,

$B_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_{n-k}{x}^k,$

$E_m(x)=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{E_k}{2^k}{(x-\frac{1}{2})}^{m-k}.$

para $n\ge 0$, onde os $B_k$ son os números de Bernoulli, e os $E_k$ son os números de Euler.

Dedúcese logo que

$B_n(0)=B_n$ (numeradores Modelo:OEIS e denominadores Modelo:OEIS)

e

$E_m\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2^m}{E}_m$ (Modelo:OEIS, tendo en conta que hai quen usa outro criterio usando só os números de índice par, ver números de Euler).

Expresión de polinomios de menor grao

Os primeiros polinomios de Bernoulli son:

$B_0(x)=1$

$B_1(x)=x-1/2$

$B_2(x)=x^2-x+1/6$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{6}x$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}$.

Os primeiros polinomios de Euler son:

$\begin{array}{cccc}{E}_0(x)& =1,& E_4(x)& =x^4-2x^3+x,\\ E_1(x)& =x-\frac{1}{2},& E_5(x)& =x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{2}{x}^2-\frac{1}{2},\\ E_2(x)& =x^2-x,& E_6(x)& =x^6-3x^5+5x^3-3x,\\ E_3(x)& =x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{4},& & ⋮\end{array}$

Propiedades dos polinomios de Bernoulli

Diferenzas

Os polinomios de Bernoulli e Euler obedecen a moitas relacións do cálculo sombra usado por Édouard Lucas, por exemplo.

$B_n(x+1)-B_n(x)=n{x}^{n-1}$

$E_n(x+1)+E_n(x)=2x^n$

Derivadas

${B_n}^{\prime }(x)=n{B}_{n-1}(x)$

${E_n}^{\prime }(x)=n{E}_{n-1}(x)$

Translacións

$B_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k(x)y^{n-k}$

$E_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})E_k(x)y^{n-k}$

Simetrías

$B_n(1-x)=(-1{)}^n{B}_n(x)$

$E_n(1-x)=(-1{)}^n{E}_n(x)$

$(-1{)}^n{B}_n(-x)=B_n(x)+n{x}^{n-1}$

$(-1{)}^n{E}_n(-x)=-E_n(x)+2x^n$

Outras propiedades

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},B_n(x)=2^{n-1}(B_n\left(\frac{x}{2}\right)+B_n\left(\frac{x+1}{2}\right))$

$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\sum _{k=0}^n{k}^p=\frac{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}$

Esta última igualdade, deducida da fórmula de Faulhaber, provén da igualdade: $\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}{B}_n(t)\mathrm{d}t=x^n$ ou, máis sinxelamente, a serie telescópica

$\sum _{k=0}^n(B_m(k+1)-B_m(k))=B_m(n+1)-B_m(0)$.

Serie de Fourier

A serie de Fourier dos polinomios de Bernoulli tamén é unha serie de Dirichlet, dada polo desenvolvemento :

$B_n(x)=-\frac{n!}{(2\pi \mathrm{i}{)}^n}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k\in \mathbb{Z}}{k\ne 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}kx}}{k^n}=-n!\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}kx}+(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}kx}}{(2\pi \mathrm{i}k{)}^n}=-2n!\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (2k\pi x-\frac{n\pi }{2})}{(2k\pi {)}^n}$,

válido só para $0\le x\le 1$ cando $n\ge 2$ e para $0<x<1$ cando $n=1$.

Este é un caso especial da fórmula de Hurwitz.

Integrais e relacións coa función zeta de Riemann

Dúas integrais definidas que relacionan os polinomios de Bernoulli e Euler cos números de Bernoulli e Euler son:

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(t)B_m(t)dt=(-1{)}^{n-1}\frac{m!n!}{(m+n)!}{B}_{n+m}\text{for }m,n\ge 1$
• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_n(t)E_m(t)dt=(-1{)}^{n}4(2^{m+n+2}-1)\frac{m!n!}{(m+n+2)!}{B}_{n+m+2}$

Outra integral dános

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_n(x+y)\log (\tan \frac{\pi }{2}x)dx=n!\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor }\frac{(-1{)}^{k-1}}{{\pi }^{2k}}(2-2^{-2k})\zeta (2k+1)\frac{y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}$

e casos particulares sen a variábel $y$ onde aparecen a función zeta de Riemann

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_{2n-1}\left(x\right)\log (\tan \frac{\pi }{2}x)dx=\frac{(-1{)}^{n-1}(2n-1)!}{{\pi }^{2n}}(2-2^{-2n})\zeta (2n+1)$
• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_{2n-1}\left(x\right)\log (\tan \frac{\pi }{2}x)dx=\frac{(-1{)}^{n-1}}{{\pi }^{2n}}\frac{2^{2n-2}}{(2n-1)!}\sum _{k=1}^n(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)$
• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_{2n}\left(x\right)\log (\tan \frac{\pi }{2}x)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_{2n}\left(x\right)\log (\tan \frac{\pi }{2}x)dx=0$
• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_{2n-1}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx=\frac{2(2n-1)!}{{(-1)}^{n-1}{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}\zeta (2n-1)$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (Ver capítulo 23)
• Modelo:Apostol IANT (Ver capítulo 12.11)

• Modelo:Cita revista
• Modelo:Cita revista (Reviews relationship to the Hurwitz zeta function and Lerch transcendent.)
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Número de Bernoulli

Ligazóns externas

• Polinomios de Bernoulli no sitio Mathworld Modelo:En