Teorema do valor medio de Cauchy

En análise matemática, e máis concretamente en cálculo diferencial, o teorema do valor medio de Cauchy é unha xeneralización do teorema do valor medio (de Lagrange). Así, Augustin Louis Cauchy dixo: sexan $f$ e $g$ continuas en $[a,b]$ e derivábeis en $(a,b)$. Se $f^{\prime }$ e $g^{\prime }$ non se anulan simultaneamente, entón existe $c\in (a,b)$ tal que:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$

Demostración

• Sexa G(x) unha función definida como:

onde f(x) e g(x) son funcións continuas en [a,b], derivábeis en (a,b). Pódese observar por simple inspección que G(a)=0 e G(b)=0.

• Polo Teorema de Rolle, existe un c, pertencente ao intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) obtense:

e sabendo que G'(c) é 0

onde se deduce que

• Se g(b)-g(a) e g'(c) son distintos de 0, a expresión anterior pode ser escrita como:

Consecuencias

O teorema de Cauchy emprégase para a demostración doutros teoremas. Permítenos, entre outros, demostrar a regra de L'Hôpital:

usada en análise matemática para o cálculo de límites da forma de $\frac{0}{0}$ e $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita web

Modelo:Control de autoridades