Teorema do número pentagonal

En matemáticas, o teorema do número pentagonal de Euler relaciona as representacións de produtos e series da función de Euler. Afirma que

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^n)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^k{x}^{k(3k-1)/2}=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}).$

Noutras palabras,

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots =1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .$

Os expoñentes 1, 2, 5, 7, 12,... no lado dereito están dadas pola fórmula Modelo:Math para k = 1, −1, 2, −2, 3, ... e chámanse números pentagonais (xeneralizados) Modelo:OEIS. (O termo constante 1 corresponde a $k=0$) Isto cúmprese como identidade da serie de potencias converxentes para $|x|<1$, e tamén como unha identidade de serie formal de potencias.

Relación coas particións

A identidade implica unha recorrencia para o cálculo $p(n)$, o número de particións de n:

$p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots$

ou máis formalmente,

$p(n)=\sum _{k\ne 0}(-1{)}^{k-1}p(n-g_k)$

onde a suma é sobre todos os enteiros k (positivos e negativos) distintos de cero e $g_k$ é o k-ésimo número pentagonal xeneralizado. Posto que $p(n)=0$ para todos os $n<0$, a serie aparentemente infinita da dereita ten só un número finito de termos distintos de cero, o que permite un cálculo eficiente de p (n).

Recorrencia da partición

Usando particións dun enteiro, que denotamos como: $n={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_{\ell }$, onde ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \dots \ge {\lambda }_{\ell }>0$. O número de particións de n é a función de partición p(n) que ten a función xeradora:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(n)x^n=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^k{)}^{-1}$

Teña en conta que é o recíproco do produto no lado esquerdo da nosa identidade:

$(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(n)x^n)\cdot (\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^n))=1$

Denotemos a expansión do noso produto por $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n,$ así

$(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(n)x^n)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)=1.$

Multiplicando o lado esquerdo e igualando os coeficientes dos dous lados, obtemos a₀ p(0) = 1 e $\sum _{i=0}^{n}p(n-i)a_i=0$ para todos os $n\ge 1$. Isto dá unha relación de recorrencia que define p(n) en termos de a_n, e viceversa unha recorrencia para a_n en termos de p(n). Daquela o noso resultado desexado:

$a_i:=\{\begin{array}{cc}1& \text{ se }i=\frac{1}{2}(3k^2\pm k)\text{ e }k\text{ par}\\ -1& \text{ se }i=\frac{1}{2}(3k^2\pm k)\text{ e }k\text{ impar }\\ 0& \text{ noutro caso }\end{array}$

para $i\ge 1$ é equivalente á identidade $\sum _i(-1{)}^{i}p(n-g_i)=0,$ onde $g_i:=\frac{1}{2}(3i^2-i)$ e i varía sobre todos os números enteiros tal que $g_i\le n$ (este intervalo inclúe tanto i positivo como negativo, para usar ambos os tipos de números pentagonais xeneralizados). Isto á súa vez significa:

$\sum _{i\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}}p(n-g_i)=\sum _{i\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}}p(n-g_i).$

En termos de conxuntos de particións, isto equivale a dicir que os seguintes conxuntos son de igual cardinalidade:

$𝒳:=\bigcup _{i\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}}𝒫(n-g_i)$        e        $𝒴:=\bigcup _{i\text{ impar }}𝒫(n-g_i),$

onde $𝒫(n)$ denota o conxunto de todas as particións de $n$. Só falta dar unha bixección dun conxunto a outro, que se realiza mediante a función φ de X a Y que mapea a partición. $𝒫(n-g_i)\ni \lambda :n-g_i={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_{\ell }$ á partición ${\lambda }^{\prime }=\phi (\lambda )$ definido por:

$\phi (\lambda ):=\{\begin{array}{cc}{\lambda }^{\prime }:n-g_{i-1}=(\ell +3i-2)+({\lambda }_1-1)+\cdots +({\lambda }_{\ell }-1)& \text{ se }\ell +3i>{\lambda }_1\\ \\ {\lambda }^{\prime }:n-g_{i+1}=({\lambda }_2+1)+\cdots +({\lambda }_{\ell }+1)+\underset{{\lambda }_1-\ell -3i}{\underbrace{1+\cdots +1}}& \text{ se }\ell +3i\le {\lambda }_1.\end{array}$

Trátase dunha involución (un mapeo auto-inverso), e polo tanto en particular unha bixección, que proba a nosa premisa e a identidade.

Véxase tamén

Bibliografía

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243. Zbl 1159.11001.

Outros artigos

• Produto triplo de Jacobi.

Ligazóns externas

• Modelo:Cite arXiv
• On Euler's Pentagonal Theorem at MathPages
• Modelo:OEIS a(n) = number of partitions of n (the partition numbers)}}
• De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium at Scholarly Commons.