Función de Euler

Gráfica de cores do dominio de ϕ no plano complexo

Modelo:Distinguir En matemáticas, a función de Euler vén dada por

$\varphi (q)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k),|q|<1.$

O nome fai referencia a Leonhard Euler, é un exemplo modelo dunha q-serie e proporciona o exemplo prototípico dunha relación entre a combinatoria e a análise complexa.

Propiedades

O coeficiente $p(k)$ na expansión en serie de potencias formal para $1/\varphi (q)$ dá o número de particións de k. É dicir,

$\frac{1}{\varphi (q)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)q^k$

onde $p$ é a función de partición .

A identidade de Euler, tamén coñecida como teorema dos números pentagonais, é

$\varphi (q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{(3n^2-n)/2}.$

onde $(3n^2-n)/2$ é un número pentagonal.

A función de Euler está relacionada coa función eta de Dedekind como

$\varphi (e^{2\pi i\tau })=e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ).$

A función de Euler pódese expresar como un q-símbolo de Pochhammer:

$\varphi (q)=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}.$

O logaritmo da función de Euler é a suma dos logaritmos da expresión do produto, e teñen cadansúa expansión arredor de q = 0, producindo

$\ln (\varphi (q))=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\frac{q^n}{1-q^n},$

que é unha serie de Lambert con coeficientes -1/n. Polo tanto, o logaritmo da función de Euler pódese expresar como

$\ln (\varphi (q))=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{q}^n$

onde $b_n=-\sum _{d|n}\frac{1}{d}=$ -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (ver OEIS A000203 )

Pola mor da identidade $\sigma (n)=\sum _{d|n}d=\sum _{d|n}\frac{n}{d}$, onde $\sigma (n)$ é a función de suma de divisores, esta tamén se pode escribir como

$\ln (\varphi (q))=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sigma (n)}{n}{q}^n$ .

Valores especiais

As seguintes identidades veñen dos Cadernos de Ramanujan:

$\varphi (e^{-\pi })=\frac{e^{\pi /24}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8}{\pi }^{3/4}}$

$\varphi (e^{-2\pi })=\frac{e^{\pi /12}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2{\pi }^{3/4}}$

$\varphi (e^{-4\pi })=\frac{e^{\pi /6}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8}{\pi }^{3/4}}$

$\varphi (e^{-8\pi })=\frac{e^{\pi /3}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{29/16}{\pi }^{3/4}}(\sqrt{2}-1{)}^{1/4}$

Usando o teorema dos números pentagonais, trocando suma por integral, e despois invocando métodos analíticos de complexos, derívase

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\varphi (q)\mathrm{d}q=\frac{8\sqrt{\frac{3}{23}}\pi \sinh \left(\frac{\sqrt{23}\pi }{6}\right)}{2\cosh \left(\frac{\sqrt{23}\pi }{3}\right)-1}.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Función de partición (teoría de números).
• Teorema dos números pentagonais.

Ligazóns externas

• O termo "función de Euler" pode usarse para referirse a calquera das varias funcións da teoría de números e da teoría de funcións especiais (MathWorld).

Modelo:Control de autoridades