Sector circular

O sector secundario está sombreado en verde mentres que o sector principal está sombreado en branco.

Un sector circular, ou simplemente sector (símbolo: ⌔ ), é a porción dun círculo encerrada por dous raios e un arco, sendo a área máis pequena coñecido como o sector menor e o maior é o sector maior . No diagrama, Modelo:Mvar é o ángulo central, $r$ o raio do círculo, e $L$ é a lonxitude do arco do sector menor.

Tipos

Un sector cun ángulo central de 180° chámase semicírculo e está limitado por un diámetro. Ás veces, os sectores con outros ángulos centrais reciben nomes especiais, como cuadrantes (90°), sextantes (60°) e octantes (45°), que veñen de que o sector é unha 4ª, 6ª ou 8ª parte dun círculo completo, respectivamente.

Área

A área total dun círculo é Modelo:Math. A área do sector pódese obter multiplicando a área do círculo pola razón do ángulo θ (expresado en radiáns) e Modelo:Math (porque a área do sector é directamente proporcional ao seu ángulo, e Modelo:Math é o ángulo para o círculo enteiro, en radiáns):$$A=\pi r^2\frac{\theta }{2\pi }=\frac{r^2\theta }{2}$$A área dun sector en termos de L pódese obter multiplicando a área total Modelo:Math pola relación de L co perímetro total 2Modelo:Pir.$$A=\pi r^2\frac{L}{2\pi r}=\frac{rL}{2}$$Tamén se pode considerar esta área como o resultado da seguinte integral:$$A=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}dS=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}\tilde{r}d\tilde{r}d\tilde{\theta }=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{1}{2}{r}^{2}d\tilde{\theta }=\frac{r^2\theta }{2}$$Convertendo o ángulo central en graos temos$$A=\pi r^2\frac{{\theta }^{\circ }}{360^{\circ }}$$

Perímetro

Para calcular a lonxitude do perímetro dun sector temos a suma da lonxitude do arco e dos dous raios:$$P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)$$onde Modelo:Mvar está en radiáns.

Lonxitude do arco

A fórmula para a lonxitude dun arco é:$$L=r\theta$$aquí Modelo:Mvar representa a lonxitude do arco, r representa o raio do círculo e θ representa o ángulo formado polo arco no centro do círculo medido en radiáns.

Cando o valor do ángulo se dá en graos, tamén podemos usar a seguinte fórmula:$$L=2\pi r\frac{\theta }{360}$$

Véxase tamén

Bibliografía

• Gerard, L. J. V., The Elements of Geometry, in Eight Books; or, First Step in Applied Logic (London, Longmans, Green, Reader and Dyer, 1874), p. 285.
• Legendre, A. M., Elements of Geometry and Trigonometry, Charles Davies, ed. (New York: A. S. Barnes & Co., 1858), p. 119.

Modelo:Xeometría plana