Sección e retracción (teoría das categorías)

$f$ é unha retracción de $g$. E $g$ é unha sección de $f$.

Na teoría das categorías, unha sección é a inversa pola dereita dalgún morfismo. Dualmente, unha retracción é unha inversa pola esquerda dalgún morfismo. Noutras palabras, se $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ son morfismos cuxa composición $f\circ g:Y\to Y$ é o morfismo de identidade $Y$, entón $g$ é unha sección de $f$, e $f$ é unha retracción de $g$.

Cada sección é un monomorfismo (todo morfismo cunha inversa pola esquerda é cancelativo pola esquerda), e toda retracción é un epimorfismo (todo morfismo cunha inversa pola dereita é cancelativo pol dereita).

En álxebra, as seccións tamén se denominan monomorfismos divididos e as retraccións tamén se denominan epimorfismos divididos. Nunha categoría abeliana, se $f:X\to Y$ é un epimorfismo dividido con monomorfismo dividido $g:Y\to X$, entón $X$ é isomorfo á suma directa de $Y$ e o kernel de $f$.

Propiedades

• Unha sección que tamén é un epimorfismo é un isomorfismo. Dualmente unha retracción que tamén é un monomorfismo é un isomorfismo.

Terminoloxía

O concepto de retracción na teoría de categorías provén da noción esencialmente similar de retracción en topoloxía: $f:X\to Y$ onde $Y$ é un subespazo de $X$ é unha retracción no sentido topolóxico, se é unha retracción do mapa de inclusión $i:Y\hookrightarrow X$ no sentido da teoría das categorías. O concepto en topoloxía foi definido por Karol Borsuk en 1931.

Exemplos

Na categoría de conxuntos, todo monomorfismo (función inxectiva) cun dominio non baleiro é unha sección, e todo epimorfismo (función sobrexectiva) é unha retracción; esta última afirmación é equivalente ao axioma da escolla.

Na categoría de espazos vectoriais sobre un corpo K, cada monomorfismo e cada epimorfismo divídese; isto débese ao feito de que os mapas lineares poden ser definidos de forma única especificando os seus valores nunha base.

Na categoría dos grupos abelianos, o epimorfismo Z → Z/2Z que envía cada número enteiro ao seu resto módulo 2 non se divide; de feito o único morfismo Z/2Z → Z é o mapa cero. Do mesmo xeito, o monomorfismo natural Z/2Z → Z/4Z non se divide aínda que haxa un morfismo non trivial Z/4Z → Z/2Z.

O concepto categórico de sección é importante na álxebra homolóxica, e tamén está intimamente relacionado coa noción de sección dun fibrado en topoloxía: neste último caso, unha sección dun fibrado é unha sección do fibrado do mapa de proxección do fibrado.

Dado un espazo cociente $\overline{X}$ con mapa cociente $\pi :X\to \overline{X}$, unha sección de $\pi$ chámase transversal.

Sexan $𝒜$ e $ℬ$ dúas categorías e $F$ sexa un functor covariante de $𝒜$ en $ℬ$. Entón, se $u$ é unha sección (respectivamente unha retracción) de $v$, a frecha $F(u)$ é unha sección (respectivamente unha retracción) de $F(v)$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Lema de separación
• Modelo:Section link