Orde (teoría de grupos)

Ficheiro:Powers of rotation, shear, and their compositions.svg

Exemplos de transformacións con diferentes ordes: xiro de 90° coa orde 4, cisallamento con orde infinita e as súas composicións coa orde 3.

En matemáticas, a orde dun grupo finito é o número dos seus elementos. Se un grupo non é finito, dise que a súa orde é infinita. A orde dun elemento dun grupo (tamén chamado período) é a orde do subgrupo xerado polo elemento. Se a operación de grupo se denota como unha multiplicación, a orde dun elemento Modelo:Mvar dun grupo é, polo tanto, o menor enteiro positivo Modelo:Math de tal xeito que Modelo:Math, onde Modelo:Math denota o elemento de identidade do grupo e Modelo:Math indica o produto de Modelo:Math copias de Modelo:Math. Se non existe tal Modelo:Math, a orde de Modelo:Math é infinita.

A orde dun grupo Modelo:Mvar denotase por Modelo:Math ou Modelo:Math, e a orde dun elemento Modelo:Math denotase por Modelo:Math ou Modelo:Math, en vez de $\mathrm{ord}(⟨a⟩),$ onde os corchetes en ángulo indican o grupo xerado por Modelo:Mvar.

O teorema de Lagrange di que para calquera subgrupo Modelo:Math dun grupo finito Modelo:Math, a orde do subgrupo divide a orde do grupo; é dicir, Modelo:Math é un divisor de Modelo:Math. En particular, a orde Modelo:Math de calquera elemento é un divisor de Modelo:Math.

Exemplo

O grupo simétrico S₃ ten a seguinte táboa multiplicativa ou de Cayley.

Este grupo ten seis elementos, así que Modelo:Math . Por definición, a orde da identidade, Modelo:Math, é un, xa que Modelo:Math. Cada un dos Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math son Modelo:Math ao elevaren ao cadrado, polo que estes elementos do grupo teñen orde dous: Modelo:Math. Finalmente, Modelo:Math e Modelo:Math teñen orde 3, xa que Modelo:Math, Modelo:Math.

Orde e estrutura

A orde dun grupo G e as ordes dos seus elementos dan moita información sobre a estrutura do grupo. A grandes liñas, canto máis complicada é a factorización de |G| máis complicada é a estrutura de G.

Para |G| = 1, o grupo é trivial. En calquera grupo, só o elemento de identidade a = e ten ord(a) = 1. Se todo elemento non identidade en G é igual ao seu inverso (de xeito que a ² = e), entón ord(a) = 2; isto implica que G é abeliano xa que $ab=(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}=ba$ . A inversa non é verdade; por exemplo, o grupo cíclico (aditivo) Z₆ de números enteiros módulo 6 é abeliano, pero o número 2 ten orde 3:

$2+2+2=6\equiv 0(\mathrm{mod}6)$ .

A relación entre os dous conceptos de orde é a seguinte: se escribimos

$⟨a⟩=\{a^k:k\in \mathbb{Z}\}$

para o subgrupo xerado por a, daquela

$\mathrm{ord}(a)=\mathrm{ord}(⟨a⟩).$

Para calquera número enteiro k, temos

a ^k = e se e só se ord(a) divide a k.

En xeral, a orde de calquera subgrupo de G divide a orde de G. Máis precisamente: se H é un subgrupo de G, daquela

ord(G )/ord(H) = [G :H], onde [G:H] chámase índice de H en G, un número enteiro. Este é o teorema de Lagrange. (Isto só é certo cando G ten orde finita. Se ord(G) = $\mathrm{\infty }$, o cociente ord(G)/ord(H) non ten sentido).

Como consecuencia inmediata do anterior, vemos que a orde de cada elemento dun grupo divide a orde do grupo. Por exemplo, no grupo simétrico mostrado arriba, onde ord(S₃) = 6, as posibles ordes dos elementos son 1, 2, 3 ou 6.

Polo outro lado, o seguinte é verdade para grupos finitos: se d divide a orde dun grupo G e d é un número primo, entón existe un elemento de orde d en G (ás veces chámase teorema de Cauchy). Esta afirmación non vale para as ordes compostas, por exemplo, o grupo de Klein-4 non ten un elemento de orde catro. Isto pódese demostrar mediante indución. As consecuencias do teorema inclúen: a orde dun grupo G é unha potencia dun p primo se e só se ord(a) é algunha potencia de p para todo a en G.

Se a ten unha orde infinita, todas as potencias distintas de cero de a tamén teñen unha orde infinita. Se a ten orde finita, temos a seguinte fórmula para a orde das potencias de a:

ord(a^k) = ord(a) / mcd(ord(a), k)

para todo número enteiro k. En particular, a e a súa inversa a ⁻¹ teñen a mesma orde.

En calquera grupo,

$\mathrm{ord}(ab)=\mathrm{ord}(ba)$

En relación cos homomorfismos

Os homomorfismos de grupos tenden a reducir as ordes dos elementos: se f : G → H é un homomorfismo e a é un elemento de G de orde finita, entón ord(f (a)) divide ord(a). Se f é inxectiva, entón ord(f(a)) = orde(a). Isto pode usarse a miúdo para demostrar que non hai homomorfismos nin homomorfismos inxectivos entre dous grupos dados explicitamente. (Por exemplo, non pode haber homomorfismo non trivial h: S₃ → Z₅, porque todo número agás o cero en Z₅ ten orde 5, que non divide as ordes 1, 2 e 3 dos elementos en S ₃ .) Outra consecuencia é que os elementos conxugados teñen a mesma orde.

Ecuación de clase

Un resultado importante sobre as ordes é a ecuación de clase; relaciona a orde dun grupo finito G coa orde do seu centro Z(G) e os tamaños das súas clases de conxugación non triviais:

$|G|=|Z(G)|+\sum _i{d}_i$

onde os d_i son os tamaños das clases de conxugación non triviais; estas son divisores propios de |G| maiores que un, e tamén son iguais aos índices dos centralizadores en G dos representantes das clases de conxugación non triviais. Por exemplo, o centro de S₃ é só o grupo trivial co único elemento e, e a ecuación di |S₃ |= 1+2+3.

Véxase tamén

Bibliografía

• Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, Modelo:ISBN, pp. 20, 54–59, 90
• Artin, Michael. Algebra, Modelo:ISBN, pp. 46–47

Outros artigos

• Índice (teoría de grupos).