Número hiperreal

Infinitesimais (ε) e infinitos (ω) na recta numérica hiperreal (1/ε = ω/1)

En matemáticas, os números hiperreais son unha extensión dos números reais para incluír certas clases de números infinitos e infinitesimais. Un número hiperreal $x$ dise que é finito se, e só se, $|x|<n$ para algún número enteiro $n$. $x$ dise que é infinitesimal se, e só se, $|x|<1/n$ para todos os números enteiros positivos $n$. O termo "hiperreal" foi introducido por Edwin Hewitt en 1948.

Os números hiperreais satisfán o principio de transferencia, unha versión rigorosa da lei heurística de continuidade de Leibniz. O principio de transferencia afirma que as afirmacións verdadeiras de primeira orde sobre R tamén son válidas en *R. Por exemplo, a lei conmutativa da suma, Modelo:Nowrap, vale para os hiperreais igual que para os reais; xa que R é un corpo pechado real, tamén o é *R. Posto que $\sin (\pi n)=0$ para todos os números enteiros n, tamén se ten $\sin (\pi H)=0$ para todos os hiperenteiros $H$. O principio de transferencia das ultrapotencias é unha consecuencia do teorema de Łoś de 1955.

A aplicación dos números hiperreais e en particular o principio de transferencia a problemas de análise chámase análise non estándar. Unha aplicación inmediata é a definición dos conceptos básicos da análise como a derivada e a integral de forma directa, sen pasar por complicacións lóxicas de múltiples cuantificadores. Así, a derivada de f(x) pasa a ser $f^{\prime }(x)=\mathrm{st}\left(\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)$ por un infinitesimal $\mathrm{\Delta }x$, onde st(⋅) denota a función parte estándar, que "redondea" cada hiperreal finito ao real máis próximo. Do mesmo xeito, a integral defínese como a parte estándar dunha suma infinita adecuada.

Principio de transferencia

A idea do sistema hiperreal é estender os números reais R para formar un sistema *R que inclúa números infinitesimais e infinitos, mais sen mudar ningún dos axiomas elementais da álxebra. Calquera declaración da forma "para calquera número x ..." que é certo para os reais tamén é certa para os hiperreais. Por exemplo, o axioma que indica "para calquera número x, x + 0 = x " aplica para ambos os sistemas. O mesmo é certo para a cuantificación de varios números, por exemplo, "para calquera número x e y, xy = yx." Esta capacidade de trasladar enunciados dos reais aos hiperreais chámase principio de transferencia. Non obstante, as declaracións da forma "para calquera conxunto de números S ..." non poden transferirse. As únicas propiedades que difiren entre os reais e os hiperreais son aquelas que dependen da cuantificación sobre conxuntos ou outras estruturas de nivel superior, como funcións e relacións, que normalmente se constrúen a partir de conxuntos. Cada conxunto, función e relación real ten a súa extensión hiperreal natural, satisfacendo as mesmas propiedades de primeira orde. Os tipos de oracións lóxicas que obedecen a esta restrición na cuantificación denomínanse enunciados na lóxica de primeira orde.

O principio de transferencia, porén, non significa que R e *R teñan un comportamento idéntico. Por exemplo, en *R existe un elemento ω tal que

$1<\omega ,1+1<\omega ,1+1+1<\omega ,1+1+1+1<\omega ,\dots .$

mais non hai tal número en R. (Noutras palabras, *R non é Arquimediano.) Isto é posíbel porque a inexistencia de ω non se pode expresar como un enunciado de primeira orde.

Uso na análise

Diferenciación

Un dos usos fundamentais do sistema numérico hiperreal é dar un significado preciso ao operador diferencial d como o emprega Leibniz para definir a derivada e a integral.

Para calquera función de valor real $f,$ o diferencial $df$ defínese como un mapa que envía cada par ordenado $(x,dx)$ (onde $x$ é real e $dx$ é infinitesimal distinto de cero) a un infinitesimal

$df(x,dx):=\mathrm{st}\left(\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\right)dx.$

Teña en conta que a propia notación "$dx$" usada para denotar calquera infinitesimal é consistente coa definición anterior do operador $d,$ pois se interpretamos $x$ (como se fai habitualmente) como a función $f(x)=x,$ entón para cada $(x,dx)$ o diferencial $d(x)$ será igual ao infinitesimal $dx$.

Unha función con valor real $f$ dise que é diferenciábel nun punto $x$ se o cociente

$\frac{df(x,dx)}{dx}=\mathrm{st}\left(\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\right)$

é o mesmo para todos os infinitesimais distintos de cero $dx.$ Se é así, este cociente chámase derivada de $f$ en $x$.

Por exemplo, para atopar a derivada da función $f(x)=x^2$, sendo $dx$ un infinitesimal distinto de cero. Entón,

$\frac{df(x,dx)}{dx}$	$=\mathrm{st}\left(\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\right)$
	$=\mathrm{st}\left(\frac{x^2+2x\cdot dx+(dx{)}^2-x^2}{dx}\right)$
	$=\mathrm{st}\left(\frac{2x\cdot dx+(dx{)}^2}{dx}\right)$
	$=\mathrm{st}(\frac{2x\cdot dx}{dx}+\frac{(dx{)}^2}{dx})$
	$=\mathrm{st}(2x+dx)$
	$=2x$

Integración

Outro uso clave do sistema numérico hiperreal é dar un significado preciso ao signo integral ∫ usado por Leibniz para definir a integral definida.

Para calquera función infinitesimal $\epsilon (x),$pódese definir a integral $\int (\epsilon )$ como un mapa enviando calquera triplo ordenado $(a,b,dx)$ (onde $a$ e $b$ son reais, e $dx$ é infinitesimal do mesmo signo que $b-a$ ) ao valor

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\epsilon ,dx):=\mathrm{st}(\sum _{n=0}^N\epsilon (a+ndx)),$

onde $N$ satisfai calquera número hiperenteiro $\mathrm{st}(Ndx)=b-a.$

Unha función con valor real $f$ dise entón que é integrábel nun intervalo pechado $[a,b]$ se para calquera infinitesimal distinto de cero $dx,$a integral

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(fdx,dx)$

é independente da escolla de$dx.$ Se é así, esta integral chámase integral definida (ou antiderivada) de $f$ en $[a,b].$

Isto mostra que usando números hiperreais, a notación de Leibniz para a integral definida pode ser interpretada realmente como unha expresión alxébrica significativa (do mesmo xeito que a derivada pode ser interpretada como un cociente significativo).

Propiedades

Os hiperreais * R forman un corpo ordenado que contén os reais R como subcorpo. A diferenza dos reais, os hiperreais non forman un espazo métrico estándar, mais en virtude da súa orde levan unha topoloxía de orde.

A condición de ser un corpo hiperreal é máis forte que a de ser un corpo pechado real que contén estrictamente R. Tamén é máis forte que o de ser un corpo superreal no sentido de Dales e Woodin.

Propiedades dos números infinitesimais e infinitos

Os elementos finitos F de *R forman un anel local, e de feito son un anel de valoración, sendo o único ideal máximo S os infinitesimais; o cociente F/S é isomorfo aos reais. Polo tanto, temos unha correspondencia homomorfa, st(x), de F a R cuxo kernel está formado polos infinitesimais e que envía cada elemento x de F a un único número real cuxa diferenza de x está en S; é dicir, é infinitesimal. Dito doutro xeito, todo número real finito non estándar está "moi preto" dun número real único, no sentido de que se x é un real finito non estándar, entón existe un e só un número real st(x) tal que x – st(x) é infinitesimal. Este número st(x) chámase parte estándar de x, conceptualmente igual que x ao número real máis próximo. Esta operación é un homomorfismo que preserva a orde e, polo tanto, ten un bo comportamento tanto alxébricamente como teoricamente. É conservador da orde aínda que non isotónico; é dicir $x\le y$ implica $\mathrm{st}(x)\le \mathrm{st}(y)$, mais$x<y$ non implica $\mathrm{st}(x)<\mathrm{st}(y)$.

• Temos, se x e y son finitos,

$\mathrm{st}(x+y)=\mathrm{st}(x)+\mathrm{st}(y)$.

$\mathrm{st}(xy)=\mathrm{st}(x)\mathrm{st}(y)$.

• Se x é finito e non infinitesimal,

$\mathrm{st}(1/x)=1/\mathrm{st}(x)$.

• x é real se e só se

$\mathrm{st}(x)=x$.

O mapa st é continuo con respecto á topoloxía de orde nos hiperreais finitos; de feito é localmente constante.

Corpos hiperreais

Supoñamos que X é un espazo de Tychonoff, tamén chamado espazo T_3.5, e que C(X) é a álxebra das funcións continuas de valores reais en X. Supoña que M é un ideal máximal en C(X). Entón a álxebra cociente A = C(X)/M é un corpo F totalmente ordenado que contén os reais. Se F contén estritamente R, entón M chámase ideal hiperreal (terminoloxía debida a Heitt (1948)) e F un corpo hiperreal. Teña en conta que non se está a supoñer que a cardinalidade de F sexa maior que R; de feito pode ter a mesma cardinalidade.

Véxase tamén

Outros artigos

• Modelo:Annotated link
• Modelo:Annotated link

Ligazóns externas

• Crowell, Brief Calculus. Un texto sobre infinitesimais.
• Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals. Unha introdución.
• Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals.

Modelo:Control de autoridades