Función hiperxeométrica

Gráfica da función hiperxeométrica 2F1(a,b; c; z) con a=2 e b=3 e c=4 no plano complexo de -2-2i a 2+2i.

En matemáticas, a función hiperxeométrica gaussiana ou ordinaria ₂F₁ (a,b; c; z) é unha función especial representada pola serie hiperxeométrica, que inclúe moitas outras funcións especiais como casos específicos. É unha solución dunha ecuación diferencial ordinaria linear de segunda orde (EDO). Cada EDO linear de segunda orde con tres puntos singulares regulares pódese transformar nesta ecuación.

Serie hiperxeométrica

A función hiperxeométrica está definida para Modelo:Math pola serie de potencias

$${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{(c{)}_n}\frac{z^n}{n!}=1+\frac{ab}{c}\frac{z}{1!}+\frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}\frac{z^2}{2!}+\cdots .$$

Está indefinida (ou é infinita) se Modelo:Mvar é igual a un enteiro non positivo. Aquí Modelo:Math é o símbolo de Pochhammer ( ascendente), que se define por:

$$(q{)}_n=\{\begin{array}{cc}1& n=0\\ q(q+1)\cdots (q+n-1)& n>0\end{array}$$

A serie remata se Modelo:Mvar ou Modelo:Mvar é un número enteiro non positivo, nese caso a función redúcese a un polinomio:

$${}_2{F}_1(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^m(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n})\frac{(b{)}_n}{(c{)}_n}{z}^n.$$

Para argumentos complexos Modelo:Mvar con Modelo:Math pódese continuar analiticamente por calquera camiño do plano complexo que evite os puntos de ramificación 1 e infinito. Na práctica, a maioría das implementacións informáticas da función hiperxeométrica adoptan un corte de rama ao longo da liña Modelo:Math.

Cando Modelo:Math, onde Modelo:Mvar é un número enteiro non negativo, temos Modelo:Math. Dividindo polo valor Modelo:Math da función gamma, temos o límite:

$$\underset{c\to -m}{\lim }\frac{{}_2{F}_1(a,b;c;z)}{\mathrm{\Gamma }(c)}=\frac{(a{)}_{m+1}(b{)}_{m+1}}{(m+1)!}{z}^{m+1}{}_2{F}_1(a+m+1,b+m+1;m+2;z)$$

Modelo:Math é o tipo máis común das series hiperxeométricas xeneralizadas Modelo:Mvar, e ás veces denótase simplemente como Modelo:Math.

Casos especiais

Moitas das funcións matemáticas comúns pódense expresar en termos da función hiperxeométrica, ou como casos límites desta. Algúns exemplos típicos son

$$\begin{array}{cc}{}_2{F}_1(1,1;2;-z)& =\frac{\ln (1+z)}{z}\\ {}_2{F}_1(a,b;b;z)& =(1-z{)}^{-a}(b\text{ arbitrario})\\ {}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^2)& =\frac{\arcsin (z)}{z}\\ {}_2{F}_1(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{3}{2};-\frac{27x^2}{4})& =\frac{\sqrt[3]{\frac{3x\sqrt{3}+\sqrt{27x^2+4}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3x\sqrt{3}+\sqrt{27x^2+4}}}}{x\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

Cando a = 1 e b = c, a serie redúcese a unha serie xeométrica simple, é dicir

$$\begin{array}{cc}{}_2{F}_1(1,b;b;z)& ={}_1{F}_0(1;;z)=1+z+z^2+z^3+z^4+\cdots \end{array}$$

daí, o nome hiperxeométrico. Esta función pódese considerar como unha xeneralización da serie xeométrica.

A función hiperxeométrica confluente (ou función de Kummer) pódese dar como límite da función hiperxeométrica

$$M(a,c,z)=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }{}_2{F}_1(a,b;c;b^{-1}z)$$

polo que todas as funcións que son esencialmente casos especiais dela, como as funcións de Bessel, poden expresarse como límites de funcións hiperxeométricas. Estes inclúen a maioría das funcións de uso común da física matemática.

Ecuación diferencial hiperxeométrica

A función hiperxeométrica é unha solución da ecuación diferencial hiperxeométrica de Euler

$$z(1-z)\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+[c-(a+b+1)z]\frac{dw}{dz}-abw=0.$$

que ten tres puntos singulares regulares: 0,1 e ∞. A xeneralización desta ecuación a tres puntos singulares regulares arbitrarios vén dada pola ecuación diferencial de Riemann. Calquera ecuación diferencial linear de segunda orde con tres puntos singulares regulares pódese converter á ecuación diferencial hiperxeométrica mediante un cambio de variables.

Fórmulas integrais

Tipo Euler

Se B é a función beta, entón

$$\mathrm{B}(b,c-b){}_2{F}_1(a,b;c;z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{b-1}(1-x{)}^{c-b-1}(1-zx{)}^{-a}dx\mathrm{\Re }(c)>\mathrm{\Re }(b)>0,$$

sempre que z non sexa un número real maior ou igual a 1. Isto pódese demostrar expandindo (1 − zx )^−a utilizando o teorema binomial e logo integrando termo por termo para z cun valor absoluto menor que 1, e por continuación analítica. Cando z é un número real maior ou igual a 1, debe utilizarse a continuación analítica, porque (1 − zx ) é cero nalgún punto do soporte da integral, polo que o valor da integral pode estar mal definido. Isto foi dado por Euler en 1748 e implica as transformacións hiperxeométricas de Euler e Pfaff.

Integral de Barnes

Barnes utilizou a teoría dos residuos para avaliar a integral de Barnes

$$\frac{1}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+s)\mathrm{\Gamma }(b+s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(c+s)}(-z{)}^{s}ds$$

como

$$\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(c)}{}_2{F}_1(a,b;c;z),$$

onde se debuxa o contorno para separar os polos 0, 1, 2... dos polos −a, −a−1, ... , - b, - b−1, ... . Isto é válido sempre que z non sexa un número real non negativo.

Fracción continua de Gauss

Gauss utilizou as fraccións continuas para dar varias formas de escribir un cociente de dúas funcións hiperxeométricas como unha fracción continua, por exemplo:

$$\frac{{}_2{F}_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2{F}_1(a,b;c;z)}=\frac{1}{1+\frac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)}z}{1+\frac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}z}{1+\frac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}z}{1+\frac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}z}{1+\ddots }}}}}$$

Véxase tamén

Outros artigos

• Distribución hiperxeométrica
• Ecuación diferencial de Riemann
• Serie hiperxeométrica xeneralizada

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions (University of Oxford, MSc Thesis)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B"
• Modelo:MathWorld